Si las matrices reales 2x2$A$,$B$ y$A-B$ son todas idempotentes, ¿esto implica$AB=BA$?

Question

No estoy seguro de si esto es cierto. Si $2 \times 2$ las matrices reales $A$ , $B$ y $A-B$ son todos idempotentes, ¿esto implica $AB=BA$ ? Todavía no puedo completar la prueba ni encontrar un ejemplo de contador.

Answer 1

Sí. Supongamos $A$, $B$, e $A-B$ son idempotente. Entonces $$A-B=(A-B)^2=A-AB-BA+B,$$ so $AB+BA=2B$, or $(A-1)B+B(A-1)=0$.

Deje $X=A-1$. Entonces tenemos que $XB=-BX$. Así $$ XB = -BX = -BBX = BXB = -XBB = -XB = BX, $$ por lo $X$ e $B$ viaje. I. e., $(A-1)B=B(A-1)$o $AB-B=BA-B$. Por lo tanto $AB=BA$.

Nota de lado

Tenga en cuenta que $XB=-XB$, lo que implica que $XB=BX=0$, lo que en realidad tenemos que $AB=BA=B$.