$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ representación de$B_3$ grupo trenzado

Question

He estado tratando de encontrar una representación de la trenza de grupo $B_3$ actuando en $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ pero no puedo encontrar en cualquier lugar.

Por lo que entiendo tengo que encontrar dos $8 \times 8$ matrices $\sigma_i$ satisfacción $\sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 = \sigma_2 \sigma_1 \sigma_2$. He intentado hacerlo con la mano, pero resultó ser más difícil de lo previsto. Es que hay solución a esto?

Gracias!

Answer 1

Voy a hacer una suposición de que la motivación para su pregunta en las representaciones de $B_n$ que conmuta con las representaciones de "quantum $\mathfrak{sl}(2)$." En este caso, $\mathbb{C}^2$ sería el de dos dimensiones de la representación irreducible de $U_q(\mathfrak{sl}(2))$, conocido como $V_1$ ya que es el de mayor peso $1$ representación.

Uno puede conceptualizar esta como buscando mapas de $B_n$ a el espacio de endomorphisms de $(\mathbb{C}^2)^{\otimes n}$ que se desplazan con la $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2))$-acción, donde esta cuántica grupo está actuando en cada una de las $\mathbb{C}^2$ factor de forma simultánea. Es decir, los mapas de $B_n\to \operatorname{End}_{\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2))}(V_1^{\otimes n})$.

El $q=1$ caso es la representación Mike Miller se acercó con: $B_3$ actúa en $V_1^{\otimes 3}$ por permuting el tensor de factores a través de la $B_3\to S_3$ homomorphism, y esto se entrelaza con la $(v_1\otimes v_2\otimes v_3) x=xv_1\otimes x v_2\otimes x v_3$ para $x\in\mathfrak{sl}(2)$, donde $xv_i$ es simplemente la matriz-vector producto.

En general, se necesita saber el "$R$-matriz" de cómo un dos-strand giro de $B_3$ corresponde a un homomorphism $V_1\otimes V_1\to V_1\otimes V_1$. La anterior conceptualización nos lleva a la Temperley-Lieb álgebra, que para nuestros fines, nos llevará $q\in\mathbb{C}^\times$ y, a continuación, tome $\mathbb{C}[B_n]$ y el cociente por (es decir, imponer) de las siguientes relaciones:

Uno puede comprobar que estos satisfacen las relaciones de $B_n$, y este es un bien definido por el cociente. Así: dada una trenza en $B_n$, uno puede resolver todos los cruces y expandir la palabra en una combinación lineal de cruzar libre de Temperley-Lieb diagramas. Para $B_3$, cada trenza se reduce a una combinación lineal de los cinco siguientes diagramas:

En este punto, podemos hacer una representación por decidir qué "tazas" y "tapas" debe ser. De acuerdo con algunas de las notas que tengo, la siguiente elección obras, donde $\{e_1,e_2\}$ constituye una base para $\mathbb{C}^2$ e $\{e^1,e^2\}$ formas de la correspondiente base dual para $(\mathbb{C}^2)^*$:

Si he calculado bien, esta es la dos-strand giro como una matriz (derivado de una $R$-matriz), con base $\{e_{11},e_{12},e_{21},e_{22}\}$:

Para obtener las matrices de $B_3$, se puede realizar el producto de Kronecker con la $2\times 2$ matriz identidad, que tiene el efecto de dar a la matriz para una trenza con un adicional de strand en uno de los lados. Estos fueron revisados en Mathematica para satisfacer $\sigma_1\sigma_2\sigma_1=\sigma_2\sigma_1\sigma_2$:

\begin{align} \sigma_1 &= \left( \begin{array}{cccccccc} \sqrt{q} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{q} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{q}-\frac{1}{q^{3/2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{q}-\frac{1}{q^{3/2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{q} \\ \end{array} \right) \\ \sigma_2 &= \left( \begin{array}{cccccccc} \sqrt{q} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{q}-\frac{1}{q^{3/2}} & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{q} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{q} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{q}-\frac{1}{q^{3/2}} & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{q}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{q} \\ \end{array} \right) \end{align}

Esta representación se divide en irreducibles de los valores de $q$ (es decir, excepto por un par de raíces de la unidad). En particular, este niño de ocho dimensiones de la representación se divide como $2V_1\oplus V_3$. La proyección sobre la $V_3$ sumando está dada por la tercera Jones-Wenzl proyector, lo que gráficamente se puede escribir como

y con un poco de grasa del codo esto puede ser convertido en un $8\times 8$ matriz de proyección. (Para $q=1$, esta es la proyección en $\operatorname{Sym}^3 V_1$.)