Si $s_1= \sqrt 2$ , y $$s_{n+1}= \sqrt {2+ \sqrt {s_n}}$$
Demuestra que ${s_n}$ está convergiendo, y eso $s_n<2$ para todos $n=1,2 \ldots $
Mi intento de usar la inducción matemática: si $s_n<2$ entonces uso $s_{n+1}= \sqrt {2+ \sqrt s_n}$ para probar $s_{n+1}< \sqrt {2+2}=2$ . Supongo que $s_n$ es una secuencia creciente, puedo usar el $s_n$ es limitado y creciente, y luego probar que $s_n$ converge.
Para dar un nombre a tu idea, quieres usar el teorema de la convergencia monótona; un delimitado y aumentando La secuencia converge en el supremo de ese conjunto, de hecho un enfoque estándar sería utilizar la inducción.
Lemma: $s_n$ está limitado
Caso base: $n=1$
$$s_1= \sqrt {2} <2$$
Supongamos que ahora por arbitrario $k$
$$ s_k< 2$$
Ahora observa como el paso inductivo: $$ s_{k+1}= \sqrt {2 + \sqrt {s_k}}< \sqrt {2+2}=2$$
Por el principio de inducción matemática hemos encontrado que $2$ es un destino para todos $n \in \mathbb N$ .
Lemma: $s_n$ está aumentando
Caso base: $$s_2-s_1>0$$ $$ \sqrt {2 + \sqrt { \sqrt {2}}}- \sqrt {2}> \sqrt {2 + 0}- \sqrt {2}=0 $$
Ahora supongamos que por arbitraria $k$ que tenemos: $$ s_{k}-s_{k-1}>0 \implies s_k > s_{k-1} \implies \sqrt {s_k}> \sqrt {s_{k-1}}$$
Ahora hacemos nuestro paso inductivo: $$ s_{k+1}-s_k= \sqrt {2 + \sqrt {s_k}}- \sqrt {2 + \sqrt {s_{k-1}}}> \sqrt {2 + \sqrt {s_{k-1}}}- \sqrt {2 + \sqrt {s_{k-1}}}=0$$ Por lo tanto, tenemos una secuencia creciente para todos $n \in \mathbb N$ esto completa la prueba y nuestra secuencia es de hecho convergente $ \square $ .
Tu idea es perfecta. El teorema de la convergencia monótona garantiza la convergencia de una secuencia si se puede demostrar que la secuencia está aumentando y delimitada por encima (o disminuyendo y delimitada por debajo). Para conseguir que tu secuencia esté aumentando, el truco es usar fuerte inducción :
El caso base es fácil, así que te lo dejo a ti. A continuación, supongamos que cada término posterior es más grande que el anterior para cada uno de los primeros $k$ condiciones. Queremos mostrar $s_{k+1} > s_k$ y debido a que usamos una fuerte inducción, podemos asumir $s_{k} > s_{k-1}$ que da la desigualdad $s_{k+1} = \sqrt {2 + \sqrt {s_k}} > \sqrt {2+ \sqrt {s_{k-1}}}$ . Y lo que es $ \sqrt {2 + \sqrt {s_{k-1}}} \ $ ?
Este argumento utiliza implícitamente el hecho de que $ \sqrt { \cdot }$ es una función creciente, pero esto es bastante fácil de probar.
Si querías encontrar realmente el límite de la secuencia, primero ten en cuenta que $\{s_{n+1} \}$ es una consecuencia de $\{s_n\}$ . Si $ \{s_n \}$ converge, cualquier subsecuente también converge en el mismo valor. Tomando un límite de ambos lados de esa igualdad, obtenemos:
$$ \lim (s_{n+1}) = \lim \left ( \sqrt {2 + \sqrt {s_n}} \right )$$
Aplicando las leyes de límites y reconociendo que $ \sqrt { \cdot }$ es una función continua $^ \dagger $ que tendremos:
$$ \lim (s_{n+1}) = \sqrt { 2 + \sqrt { \lim (s_n)}}$$
Sabemos que $\{s_n\}$ converge en algunos $L \in \mathbb {R}^+$ y $\{s_{n+1} \}$ a la misma, así que lo anterior se reduce a:
$$L = \sqrt {2 + \sqrt {L}}$$
Resolviendo para $L$ encontramos que es una raíz del cuarzo $L^4 - 4L^2 - L + 4$ . Fíjese que $1$ es una raíz, por lo que podemos factorizar $(L-1)$ reduciendo el problema a encontrar las raíces del cubo $L^3 + L^2 - 3L - 4$ . Puedes encontrar sus tres raíces usando el fórmula cúbica (dos de ellos tendrán una parte imaginaria distinta de cero, así que nuestro $L$ será la única raíz real). La fórmula cúbica es un desastre, por lo que también se puede llegar a una aproximación arbitrariamente buena para $L$ usando El método de Newton . De cualquier manera, tenemos $L \approx 1.8312$ .
$^ \dagger $ Estamos aplicando el hecho de que, si $f$ es una función continua y $\{a_n\}$ una secuencia convergente en el dominio de $f$ Entonces $a_n \to M \implies f(a_n) \to f(M)$ .
Es una iteración de punto fijo de la forma $s_{n+1}=g(s_n)$ . Puedes comprobar fácilmente que $g([0,2]) \subset [0,2]$ y así, si empiezas con $s_1 \in [0,2]$ la secuencia permanecerá en $[0,2]$ lo que demuestra parte de la cuestión. En cuanto a la convergencia, puedes usar de nuevo las propiedades de $g$ para comprobar que la secuencia en monótono, como adivinó. Ten en cuenta que puedes mirar $g$ como una función real y usar el cálculo diferencial...
El lema 1 de Wesley muestra bien que $s_n$ está limitada por arriba.
Reforzando la frase:
Muestra que $s_n$ está aumentando:
1) $n=1$ : $s_2 > s_1√$
2) Hipótesis: $s_{n+1} \ge s_n.$
Paso $n+1:$
$s_{n+2} = \sqrt {2+√s_{n+1}} {Hyp. \atop \ge } \sqrt {2+√s_n} =s_{n+1}.$
Usado: $f(x)=√x$ es una función creciente.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
