¿Es válido definir $\binom{n}{n+k} = 0$

Question

¿Es válido definir

$$\binom{n}{n+k} = 0$$

donde $k$ es un número entero en $\{k < -n\}\cup\{k > n\}$ ? No pude encontrar nada sobre esta notación a través de una búsqueda rápida en Google, pero me encontré con ella en el paso de inducción de la prueba que

$$\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}} = 2^n \tag{$ \N - La estrella $}$$

donde lo siguiente se obtiene por la identidad de Pascal:

\begin{align} \sum_{k=0}^{n+1}{\binom{n+1}{k}} &= \sum_{k=0}^{n+1}{\binom{n}{k-1}} + \sum_{k=0}^{n+1}{\binom{n}{k}} \\ \\ &= \binom{n}{-1} + \sum_{k=1}^{n+1}{\binom{n}{k-1}} + \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}} + \binom{n}{n+1} \\ \\ &= 0 + \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}} + \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}} + 0 \\ \\ &= 2\cdot 2^n \end{align}

donde este enfoque sólo tiene sentido si esas formas mencionadas son cero. A mí me parece que intuitivamente tiene sentido, ya que hay cero formas de hacer cualquiera de esas cosas, ya que son imposibles.

Soy escéptico de que esta definición sea válida porque vi una prueba de $(\star)$ donde esas expresiones fueron evitadas por otros razonamientos.

Answer 1

Puede ampliar la definición de $n \choose r$ haciendo que sea 0 si r<0 o r>n.

Si quieres una explicación intuitiva entonces, mira $(1+x)^n$ que no tiene $x^{n+1}$ o $x^{-1}$ términos.

Answer 2

Es conveniente ampliar la definición de los coeficientes del binomio más allá de su significado combinatorio. Podemos considerar $\binom{r}{k}$ y permitir $r$ sea un número real (o incluso complejo) y $k$ sea un número entero.

La definición ampliada es \begin{align*} \binom{r}{k}= \begin{cases} \frac{r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}&\qquad \text{integer }k\geq 0\\ 0&\qquad \text{integer }k <0 \end{cases}\tag{1} \end{align*}

Esta definición se encuentra, por ejemplo, en la sección 5.1 Coeficientes binomiales La fórmula (5.1) en Matemáticas concretas por R.L. Graham, D.E. Knuth y O. Patashnik.

De (1) se deduce para los enteros no negativos $n$ y enteros $k<-n$ o $k>0$ que $\binom{n}{n+k}=0$ .