El experimento de Eratóstenes sobre una tierra plana frente a una tierra esférica

Question

En una tierra plana suponemos que el sol es un punto y que está a una distancia $H$ del suelo. Ponemos tres palos en el suelo, todos de altura $h$ . Los rayos del sol serán líneas desde el sol hasta la punta del palo y una sombra se define como un segmento de línea desde la parte inferior del palo donde se puso en el suelo hasta el punto de intersección del rayo de sol con el suelo.

En una tierra esférica los palos se clavan en el suelo de forma que sean normales a la tierra. Los rayos son líneas paralelas que pasan por las puntas de los palos, y la sombra se define como el arco entre el punto inferior del palo hasta el punto de intersección del rayo solar con el suelo

Neil Tyson lo demostró con pozos en este vídeo: https://youtu.be/hLPPE3_DVCw?t=318

Dijo que los ángulos de alguna manera no son los mismos cuando añadimos un tercer palo en una tierra esférica y en una plana. He tratado de convencerme de que estos dos modelos no producirían los mismos ángulos de esta manera:

Considere un palo clavado en un lugar en una tierra esférica. El ángulo entre el palo y el rayo es $x_2$ . Consideremos ahora un palo clavado en el mismo lugar donde estaba clavado el primero, pero más largo. El ángulo entre el nuevo palo y el nuevo rayo seguiría siendo $x_2$ ya que los dos rayos son paralelos.

Ahora considere la misma configuración en una tierra plana. Los ángulos formados por dos palos y dos rayos no serían los mismos.

Por lo tanto, estos dos modelos no son equivalentes.

Otra forma que probé fue calcular esos ángulos. En una tierra esférica el ángulo $x$ formado por cualquier palo y un rayo sería $x = d/r$ , donde $d$ es la distancia desde ese palo a un punto en el que el rayo cae sobre la tierra en ángulo recto y $r$ es el radio de la tierra. En una tierra plana el ángulo sería $tan^{-1}(\frac{d}{H-h})$ .

Dado que en una tierra esférica el ángulo sólo depende de $d$ (ya que $r$ es constante), y en una tierra plana el ángulo depende de la altura del palo $h$ Estos dos modelos no pueden ser equivalentes.

¿Son correctas estas dos justificaciones? Si no lo son, ¿cuál sería la correcta?

Answer 1

Ambas justificaciones son correctas.

(Me costó un poco entender lo que querías decir con $d$ en el cálculo del modelo esférico sin embargo : mejor decir algo así como: $d$ es la distancia -siguiendo la curvatura de la tierra- desde el punto en el que se planta el palo hasta el punto en el que el rayo de sol cae en un ángulo de 90° sobre la tierra)

Pero la segunda justificación donde se observa que el ángulo no depende de $h$ es sólo una prueba de la intuición que se obtuvo con la primera justificación. Así que yo no las llamaría separadas.

Aquí hay otra justificación: calcular la longitud de las sombras.

• En primer lugar, la tierra plana (utilizando los mismos parámetros que tú, y llamando a la longitud de la sombra $s$ ): A partir de $\frac{s}{s+d}=\frac{h}{H}$ (teorema de Tales) obtenemos $s=\frac{d}{H-h}$ . Si el palo es tan alto como la altura del sol, obtenemos una sombra infinita, como era de esperar. (Supongamos $h<H$ )
• En segundo lugar, la tierra esférica: estoy usando ángulos aquí (ver el diagrama), pero recuerda $d=r\alpha$ y $s=r\beta$ . Para mayor claridad, la sombra $s$ está en rojo, los rayos del sol vienen de la derecha.

Calcula primero $k = (r+h)\sin\alpha$ y luego utilizarlo para $\alpha + \beta = \sin^{-1}\left(\frac{k}{r}\right)$ y finalmente $s=r\left((\alpha+\beta)-\alpha\right)$ ; volviendo a enchufar todo con sus parámetros: $s=r\left(\sin^{-1}\left(\frac{r+h}{r}\sin\frac{d}{r}\right)\right)-d$

Cuando la parte superior del palo ni siquiera se proyecta sobre la tierra (está demasiado cerca de la sombra terrestre), lo anterior no se define, como era de esperar. Basta con utilizar $s=r\frac{\pi}{2}-d$ en su lugar. Cuando $d$ es demasiado grande (el bastón, o al menos su base, está en la sombra de la tierra), establece el resultado en $0$ .

Dos funciones muy diferentes para calcular las sombras, por lo tanto dos modelos muy diferentes.

¿Y qué hay del caso en el que tenemos una tierra esférica y un sol a distancia $H$ ? Se deja como ejercicio al lector, por supuesto.