forma cerrada para $\int_0^1\frac{\mathrm{Li}_s(x-x^2)}{x-x^2}\mathrm dx$

Question

Estoy tratando de evaluar $$F(s)=\sum_{n\geq1}\frac1{n^{s+1}{2n\choose n}}$$ Comencé señalando que $$\frac1{n{2n\choose n}}=\frac12\int_0^1\left[x-x^2\right]^{n-1}\mathrm dx$$ Así que $$F(s)=\int_0^1\sum_{n\geq1}\frac{\left[x-x^2\right]^{n-1}}{n^s}\mathrm dx$$ Y si recordamos la definición de la función polilogaritmo $$\mathrm{Li}_s(z)=\sum_{n\geq1}\frac{z^n}{n^s}$$ Es evidente que $$F(s)=\int_0^1\frac{\mathrm{Li}_{s}(x-x^2)}{x-x^2}\mathrm dx$$ Lo cual no sé cómo afrontar. ¿Podría tener alguna ayuda para evaluar esta integral? Gracias.

Answer 1

Una expresión como función hipergeométrica generalizada se puede obtener directamente expresando el cociente de dos términos consecutivos de la serie que define $F(s)$ como una fracción racional en $n$ permitiendo así expresar la serie como una serie hipergeométrica generalizada.

Como alternativa, partiendo de la integral, tal y como comenta @mrtaurho \begin{align} F(s)&=\int_0^{1/2}\frac{\mathrm{Li}_{s}(x-x^2)}{x-x^2}\,dx+\int_{1/2}^1\frac{\mathrm{Li}_{s}(x-x^2)}{x-x^2}\,dx\\ &=2\int_0^{1/2}\frac{\mathrm{Li}_{s}(x-x^2)}{x-x^2}\,dx\\ &=2\int_0^{1/4}\frac{\mathrm{Li}_{s}(t)}{t}\frac{dt}{\sqrt{1-4t}}\\ &=2\int_0^{1}\frac{\mathrm{Li}_{s}(\frac{u}{4})}{u}\frac{du}{\sqrt{1-u}} \end{align} (cambiamos $x\to 1-x$ n la segunda integral de la primera expresión, entonces $t=x(1-x)$ y finalmente $t=u/4$ ). Ahora bien, si $s$ es un número entero, utilizamos la representación en términos de la función hipergeométrica ( aquí ) \begin{equation} \mathrm{Li}_s(z)=z\,_{s+1}F_s\left( 1,1,\ldots,1;2,2,\ldots,2;z \right) \end{equation} para obtener \begin{equation} F(s)=\frac{1}{2}\int_0^{1}\left( 1-u \right)^{-1/2}{}_{s+1}F_s\left( 1,1,\ldots,1;2,2,\ldots,2;\frac{u}{4} \right)\,du \end{equation} Entonces, a partir de la integral tabulada ( DLMF ), \begin{equation} {{}_{p+1}F_{q+1}}\left({a_{0},\dots,a_{p}\atop b_{0},\dots,b_{q}};z\right)=% \frac{\Gamma\left(b_{0}\right)}{\Gamma\left(a_{0}\right)\Gamma\left(b_{0}-a_{0% }\right)}\int_{0}^{1}t^{a_{0}-1}(1-t)^{b_{0}-a_{0}-1}{{}_{p}F_{q}}\left({a_{1}% ,\dots,a_{p}\atop b_{1},\dots,b_{q}};zt\right)\mathrm{d}t \end{equation} válido para $\Re b_0>\Re a_0>0$ si $p\le q$ y, además, $\left|\mathrm{ph}(1-z)\right|<\pi$ si $p=q+1$ . Aquí $a_0=1,b_0=3/2,z=1/4$ Por lo tanto \begin{equation} F(s)={}_{s+2}F_{s+1}\left( 1,1,\ldots,1;\frac{3}{2},2,2,\ldots,2;\frac{1}{4} \right) \end{equation}