Soy un principiante en el espacio métrico. Tantos libros que he leído, solo existe la noción de portadas abiertas. Quiero saber por qué nos preocupamos por las cubiertas abiertas para definir la compacidad de los espacios métricos y por qué no usamos cubiertas cerradas. ¿Cuál es el problema al definir la tapa cerrada de un conjunto? ¿Podemos usar la definición alternativa de compacidad: "Cada cubierta cerrada tiene una subcapa finita"?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es importante entender que, si bien las definiciones a menudo una apariencia arbitraria, nunca lo son. Los objetos matemáticos son la intención de modelar algo, y usted no puede entender por qué la definición es la forma en la que es hasta que usted entienda lo que está tratando de modelo. La pregunta que se formula es exactamente la de la derecha: ¿por qué es definido de esta manera y no de otra manera? Lo que está es tratando de modelo?
(Por ejemplo, ¿por qué una topología de decir que arbitraria sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos, pero infinito intersecciones de abrir conjuntos no podría ser? Es debido a que la topología es la intención de ser una abstracción de ciertas propiedades de la línea y el plano, y abrir los conjuntos están destinados a ser una versión más general de abrir los intervalos de la línea y abrir los discos en avión, y es así como los intervalos y los discos se comportan.)
Este caso es similar. Los matemáticos di cuenta de que hay ciertos tipos de "buen comportamiento" de los subconjuntos de la línea y de la métrica de los espacios en general. Por ejemplo:
- Una función continua siempre es uniformemente continua si y sólo si su dominio está bien-se comportó de esta manera
- Continua con un valor real de la función es siempre limitada - si y sólo si su dominio está bien-se comportó de esta manera
- Si $f$ es un continuo valor real de la función de algunas de dominio, puede haber algo de $m$ a que $f$ es maximizada: $f(x) ≤ f(m)$ para todos los $x$. Esto es cierto de todos los $f$ si y sólo si el dominio está bien-se comportó de esta manera
- Cada secuencia de puntos a partir de un subconjunto de a$\Bbb R^n$ contiene convergente larga - si y sólo si el subconjunto es bien comportado de esta manera
y así sucesivamente. Se llevó a los matemáticos un tiempo bastante largo para comprender bien todo esto, pero la respuesta resultó ser que el "buen comportamiento" de la propiedad es compacto. Hay varias formulaciones equivalentes de la misma, incluyendo la apertura de la tapa de la formulación que usted ha mencionado.
En contraste, la alternativa de la propiedad que se proponen, con el cierre de la cubre, resulta que no modelo de algo interesante, y realmente ser trivial, ya que los comentarios del punto de salida. Termina en ninguna parte. Pero incluso si terminó en algún lugar que no sea trivial, sería una curiosidad, de no mucho interés, a menos que hubiera comenzado a partir de un deseo de comprender mejor de algo que ya quería entender. Es muy fácil hacer nuevas propiedades matemáticas al azar, y para demostrar teoremas sobre las propiedades, y, a veces, puede parecer que es lo que estamos haciendo. Pero nunca lo son.
Adecuadamente formulados, compacidad resulta ser sorprendentemente profunda. Antes de compacidad, matemáticas ya tenía una idea de lo que es un conjunto finito fue. Finito de conjuntos son siempre discretos, pero no todos los conjuntos discretos finitos.
La compacidad es el ingrediente que falta: un conjunto finito es uno que es a la vez discreto y compacto. Con el descubrimiento de la compacidad, hemos sido capaces de comprender la finitud como una conjunción de dos propiedades que son más fundamentales! Algunas de las propiedades que asociamos con la finitud en realidad provienen de las discreto; otros proceden de compacidad. (Algunos vienen de ambos). Interesante, ¿no?
Y la formulación de compacidad correctamente nos ayuda a comprender mejor el espacio original, $\Bbb R^n$ y la métrica de los espacios en general. Una vez que tengamos la compacidad de la derecha, vemos que las propiedades de "buen comportamiento" de los conjuntos que he mencionado anteriormente no son verdad de todos los espacios compactos; métrica espacios especiales en varias formas, que no teníamos anteriormente apreciar.
Seguir haciendo estas preguntas. Cada definición se hace por una razón.
