Que los métodos a utilizar para integrar a $\int{\frac{x^4 + 1}{x^2 +1}}\, dx$

Question

Tengo esta integral para evaluar:

$$\int{\frac{x^4 + 1}{x^2 +1}}\, dx$$

He tratado de sustitución trigonométrica de la identidad y la integración por partes pero solo estoy dando vueltas en círculos.

¿Alguien puede explicar el método necesito solucionar esto?

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $x^4-1=(x^2)^2-1=(x^2+1)(x^2-1),$

$$\frac{x^4 + 1}{x^2 +1}=\frac{x^4-1+2}{x^2 +1}=x^2-1+\frac2{x^2+1}$$

Generalización :

Si el integrando es $$\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots}{ax^2+bx+c},$$

solo hay que dividir para obtener el cociente de la forma $b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots$ que es fácilmente integrable y la parte restante será de la forma $\frac{px+q}{ax^2+bx+c}$

Si $p=0$ $I_2$ por debajo.

demás que establezca $px+q=r\frac{d(ax^2+bx+c)}{dx}+ s=r(2ax)+rb+s$

La comparación de los coeficientes de $x,2ar=p\implies r=\frac p{2a}$

y la Comparación de las constantes, $rb+s=q\implies s=q-rb=q-\frac{pb}{2a}$

$$\text{So, }\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$$

$$=r \int \frac{d(ax^2+bx+c)}{dx}\frac1{ax^2+bx+c}dx+s\int\frac1{ax^2+bx+c}dx $$

$$=\frac p{2a}\int \frac{d(ax^2+bx+c)} {ax^2+bx+c}+\left(q-\frac{pb}{2a}\right)\int\frac1{ax^2+bx+c}dx $$

$$\text{Now, } \int \frac{d(ax^2+bx+c)} {ax^2+bx+c}=\ln|ax^2+bx+c|+C$$

$$\text{and } I_2=\int\frac1{ax^2+bx+c}dx =\int\frac{4a}{(2ax+b)^2+4ac-b^2}dx $$

Si $4ac-b^2=0,$ puesto $2ax+b=u$ $I_2$

Si $4ac-b^2>0, 4ac-b^2=t^2$(es decir, ) $I_2=4a\int \frac{dx}{(2ax+b)^2+t^2}$ y poner $2ax+u=t\tan\theta$

Si $4ac-b^2<0, 4ac-b^2=-t^2$(es decir, ) $I_2=4a\int \frac{dx}{(2ax+b)^2-t^2}$ y poner $2ax+u=t\sec\theta$

Answer 2

Cuando usted tiene un polinomio racional con un numerador de igual o mayor grado que el denominador, tratar de factorizar el numerador si es posible, o, simplemente, utilizar el polinomio de la división larga.

• laboratorio de bhattacharjee notado una buena manera de simplificar el racional integrando manipulando el numerador para hacer la vida más fácil.
• Pero supongamos que usted está cansado y no se siente particularmente creativos; el polinomio de la división larga te dará el mismo resultado:

Dividiendo el numerador por denominador el uso de simple pero rápido polinómica de la división nos da:

$$\frac{x^4 + 1}{x^2 +1}=(x^2-1)+\frac2{x^2+1}$$

Así, podemos expresar nuestros integral de la siguiente manera: $$\int \frac{x^4 + 1}{x^2 +1} \, dx\;= \;\;\int x^2 \,dx \;\;- \;\;\int \,dx \;\;+\;\; 2\int \frac 1{x^2+1}\,dx$$

Sin duda, usted puede manejar las dos primeras integrales. Y para el tercero: observe que la tercera integral está en perfecta forma que se integra muy bien a $$2\int \frac 1{x^2+1}\,dx\;\; = \;\;\;2\tan^{-1}(x) + C$$

Answer 3

Creo laboratorio bhattacharjee la forma en que es probablemente el mejor, pero ya que usted menciona que la probé, creo trigonométricas sustitución iba a funcionar así. La sustitución

$$x=\tan t,dx=\sec^2tdt$$

sería el resultado con

$$\int\tan^4t+1=\int(\sec^2t-1)\tan^2t+1dt$$ $$\int\tan^2t\sec^2tdt+\int1-(\sec^2t-1)dt$$

Borrar el paréntesis, integrar, y backsubstitution debería ser bastante fácil.

Answer 4

Vamos a tratar algunos imaginario cosas.

$\dfrac{x^4}{x^2+1}=\dfrac{Ax^3}{x+i}+\dfrac{Bx^3}{x-i} \implies A=B= \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{x^4+1}{x^2+1}= \dfrac{1x^3}{2(x+i)}+\dfrac{1x^3}{2(x-i)}+\dfrac{1}{x^2+1}$