Pregunta: se Puede todos los no-compacto de superficie de Riemann ser holomorphically incrustado en $\mathbb{C}^2$? Si no, ¿cuáles son algunos (todos?) de los obstáculos para esta inclusión?
Esta pregunta está parcialmente inspirada en la página de la Wikipedia sobre Stein colectores, que me enseñó dos cosas:
Behnke-Stein Teorema (1948): Todos los no-compacto de superficie de Riemann es Stein, por lo tanto puede ser holomorphically incrustados en algunos $\mathbb{C}^N$.
Cada Stein colector de la compleja dimensión de $n$ puede ser embebido en $\mathbb{C}^{2n+1}$ por un biholomorphic correspondientes del mapa. (Sería bueno tener una cita para esto).
Juntos, estos dos teoremas implica que todos los no-compacto de superficie de Riemann holomorphically incrusta en $ \mathbb{C}^3$. This raises the question of embedding into $\mathbb{C}^2$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un importante problema abierto de volver a Forster, Campana y Narasimhan. A la cita de
A. Alarcón, F. Forstnerič, Cada confinado superficie de Riemann es una completa adecuada curva en una bola, Mathematische Annalen, Vol. 357 (2013) Tema 3, 1049-1070.
"Es la clásica que cualquier superficie de Riemann sumerge correctamente holomorphically en ${\mathbb C}^2$, pero queda abierta la cuestión de si se incrusta en ${\mathbb C}^2$."
La existencia de una adecuada y no adecuada incrustaciones son desconocidos. Muchas cosas son conocidas. Por ejemplo, el complemento perfecto para cualquier conjunto finito de pares distintos cerrado topológico discos en un género 1 compacto de superficie de Riemann (también conocido como un toro o una curva elíptica) inserciones:
E. F. Wold, la incorporación de los subconjuntos de tori correctamente en ${\mathbb C}^2$. Ann. Inst. De Fourier (Grenoble) 57 (2007), no. 5, 1537-1555.
También se sabe que no hay topológico obstrucciones a un holomorphic la incrustación de una superficie de Riemann en ${\mathbb C}^2$:
A. Alarcón, F. López, Adecuada holomorphic incrustaciones de superficies de Riemann con topología arbitraria en ${\mathbb C}^2$. J. Geom. Anal. 23 (2013), no. 4, 1794-1805.
y
A. Alarcón, J. Globevnik, embebido Completo complejo de curvas en la bola de ${\mathbb C}^2$ puede tener cualquier topología. Anal. PDE 10 (2017), no. 8, 1987-1999.
Ver estas diapositivas para más información sobre este problema.
