¿Son los números naturales estándar un modelo sobresaliente de PA?

Question

Es el modelo de $\mathcal N$ del estándar de números naturales de alguna manera sobresaliente de todos los posibles (no estándar) de los modelos de PA? Por ejemplo, puede ser que $\mathcal N$ es algún tipo de modelo mínimo, es decir, está contenida en cada modelo de otros en algún sentido útil?

No estoy muy familiarizado con la terminología aquí. He oído acerca de primaria submodelos, el primer modelos, modelos atómicos, ... . He oído que cada interpretación de ZFC tiene su único números naturales, por lo tanto parece que hay una manera de distinguir a $\mathcal N$ en allí. Respuestas aquí parece implicar que hay una incrustación de $\mathcal N$ en cada uno de los modelos estándar.

Answer 1

La expansión en Qiaochu del comentario, el modelo estándar $\mathbb{N}$ es el único (hasta el isomorfismo) modelo de un mínimo de PA en el sentido de incrustaciones. Es decir, se cumple lo siguiente:

• $\mathbb{N}$ incrusta de forma única en cada modelo de PA. Por otra parte, si $\mathcal{M}$ es elementarily equivalente a $\mathbb{N}$, luego de la incorporación de la $\mathbb{N}$ a $\mathcal{M}$ es elemental.

• Si $\mathcal{M}$ es un modelo de PA no isomorfo a$\mathbb{N}$, $\mathcal{M}$ ¿ no incrustar en $\mathbb{N}$.

Cada uno de estos hechos es un ejercicio bastante simple en el modelo de la teoría - el punto clave es que el $\mathbb{N}$ se caracteriza singularmente entre los modelos de PA (hasta el isomorfismo) por el segundo principio de inducción. Además de dar otra caracterización de $\mathbb{N}$ (reescribirse de manera diferente: $\mathbb{N}$ es el único ordenado del modelo de PA), de segundo orden de la inducción nos permite razón, bueno, inductivamente al comparar arbitraria de los modelos de PA con $\mathbb{N}$. Por ejemplo, si $\mathcal{M}$ es un modelo de PA, podemos construir una incrustación $f_\mathcal{M}: \mathbb{N}\rightarrow\mathcal{M}$ por inducción como:

• $f_\mathcal{M}(0)=0^\mathcal{M}$, y

• después de haber definido $f_\mathcal{M}(n)$, dejamos $f_\mathcal{M}(n+1)=f_\mathcal{M}(n)+^\mathcal{M}1^\mathcal{M}$.

Por el segundo principio de inducción para $\mathbb{N}$, no en el hecho de definir un mapa de$\mathbb{N}$$\mathcal{M}$, y no es difícil mostrar que este mapa es una incrustación.

Nota, por cierto, que el PA está de más aquí: podemos reemplazarlo por la teoría de los números naturales con el sucesor. Esta teoría, en contraste a PA, es completa y decidable!

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Y otra muy diferente caracterización de $\mathbb{N}$ es a través de la computabilidad: el modelo estándar de la PA es el único contables del modelo de PA con una computable presentación, por Tennenbaum del teorema. Esta es una de las más involucradas resultado. En particular, mientras que la PA es todavía una exageración, hay teorías de la aritmética mucho más fuerte que la aritmética con el sucesor que son demasiado débiles para los Tennenbaum fenómeno a ser para ellos.