5 votos

Encontrar el grado de$1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ sobre$\mathbb{Q}$

Este es un ejercicio para el libro de Álgebra Abstracta por Dummit y Foote (pg. 530): conocer el grado de $\alpha:=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ más de $\mathbb{Q}$

Mis esfuerzos:

Primero trato de encontrar el polinomio mínimo por escrito $\alpha=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\implies\alpha-1=\sqrt[3]{2}(1+\sqrt[3]{2})\implies(\alpha-1)^{3}=2(1+\sqrt[3]{2})^{3}$ pero no he podido obtener el polinomio mínimo de este (que es, según Wolfram, de grado $3$).

También probé con otro método que no: he notado que $\mathbb{Q}(\alpha)\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ por lo tanto es de grado $\leq3$, por otra parte, ya que es un subcampo y $3$ es el primer solo queda demostrar que $\alpha$ no es racional (que yo no puedo demostrar).

Puede alguien le agrada que me ayude muestran que el grado es $3$ (preferentemente es uno de los dos métodos que he probado) ?

12voto

larryb82 Puntos 158

Si$1+ \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}=r$ con$r$ racional, entonces$\sqrt[3]{2}$ satisfaría$x^2+x+1-r=0$, contradiciendo el hecho de que tiene un grado$3.$

6voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Dejar $\beta=\sqrt[3]2$. Entonces$\alpha=1+\beta+\beta^2$, por lo tanto,$\mathbb Q(\alpha)\subseteq \mathbb Q(\beta)$. Claramente, el polinomio mínimo de$\beta$ es$X^3-2$, por lo tanto,$[\mathbb Q(\beta):\mathbb Q]=3$. Como espacio vectorial,$\mathbb Q(\beta)$ tiene$1, \beta, \beta^2$ como base, por lo tanto,$\alpha$ es irracional (la única forma de escribir$\alpha=a+b\beta+c\beta^2$ con coeficientes racionales es$\alpha=1+\beta+\beta^2$). Por lo tanto,$1<[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]|3$, es decir y$[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=3$.


Puede encontrar el polinomio mínimo de$\alpha$:$$\alpha = 1+\beta+\beta^2$ $$$\alpha^2 = (1+\beta+\beta^2)^2=1+2\beta+3\beta^2+2\beta^3+\beta^4 = 5+4\beta+3\beta^2$ $$$\alpha^3 = (1+\beta+\beta^2)(5+4\beta+3\beta^2)=5+9\beta+12\beta^2+7\beta^3+3\beta^4=19+15\beta+12\beta^2$ $ Encuentre una combinación que elimine todos los$\beta$ y$\beta^2$: $$\alpha^2-3\alpha=2+\beta$ $$$\alpha^3-4\alpha^2=-1-\beta$ $$$\Rightarrow\quad \alpha^3-3\alpha^2-3\alpha-1=0$ $

4voto

FuzzyQ Puntos 200

Indica$\alpha = 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$. Desde$\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, obtenemos$\mathbb{Q}(\alpha) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$. Ahora

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} \in \mathbb{Q}(\alpha)$

$(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})^2 = 2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} + 4 \in \mathbb{Q}(\alpha)$

Restar el primer elemento del segundo implica$\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}(\alpha)$, y por lo tanto$\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.

3voto

clintp Puntos 5127

Tu segundo método es el correcto. Para ver que$\alpha$ no es racional, tenga en cuenta que$$\frac{a}{b}=\alpha\implies \frac{a-b}{b\sqrt[3]{2}}=(1+\sqrt[3]{2})\implies \frac{(a-b)^3}{2b^3}=3\alpha\implies(a-b)^3=6ab^2$ $ y tenga en cuenta que esta última ecuación es homogénea, por lo que si tiene una solución en$\mathbb Z$ tiene una solución con$a$ y$b$ coprime. Pero$6|(a-b)^3$ así que$6|(a-b)$, y así$6^2|ab^2$ así que o bien$6|a$ o$6|b$, pero de cualquier manera ya que$6|(a-b)$ obtenemos$6|a$ y$6|b$, por lo tanto$a$ y$b$ no son coprime. Por lo tanto, no existe una solución, por lo que$\alpha$ es irracional.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X