Este es un ejercicio para el libro de Álgebra Abstracta por Dummit y Foote (pg. 530): conocer el grado de $\alpha:=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ más de $\mathbb{Q}$
Mis esfuerzos:
Primero trato de encontrar el polinomio mínimo por escrito $\alpha=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\implies\alpha-1=\sqrt[3]{2}(1+\sqrt[3]{2})\implies(\alpha-1)^{3}=2(1+\sqrt[3]{2})^{3}$ pero no he podido obtener el polinomio mínimo de este (que es, según Wolfram, de grado $3$).
También probé con otro método que no: he notado que $\mathbb{Q}(\alpha)\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ por lo tanto es de grado $\leq3$, por otra parte, ya que es un subcampo y $3$ es el primer solo queda demostrar que $\alpha$ no es racional (que yo no puedo demostrar).
Puede alguien le agrada que me ayude muestran que el grado es $3$ (preferentemente es uno de los dos métodos que he probado) ?