¿Por qué no puede existir un reloj perfecto?

Question

Tengo una pregunta sobre la razón que da Feynman de por qué un reloj perfecto - un reloj que permanece sincronizado mientras está en movimiento con un reloj estacionario, no puede existir. Está claro por qué el "reloj de luz" (descrito en Sección 15-4: Transformación del tiempo ) en movimiento debe parecer que corre más despacio para el observador estacionario. Feynman da el siguiente argumento de por qué cualquier reloj (independientemente de cómo funcione) debe ir más lento.

El argumento de Feynman es el siguiente:

No sólo este tipo concreto de reloj funciona más despacio, sino que, si la teoría de la relatividad es correcta, cualquier otro reloj, que funcione según cualquier principio, también parecería funcionar más despacio. [¿Por qué?

Para responder a la pregunta anterior, supongamos que tenemos otros dos relojes fabricados exactamente iguales [...]. Entonces ajustamos estos relojes para que ambos funcionen en sincronismo preciso con nuestros primeros relojes. [...] Uno de estos relojes se lleva a la nave espacial, junto con el primer tipo. Tal vez este reloj no funcione más despacio, sino que siga manteniendo la misma hora que su homólogo estacionario, y por tanto en desacuerdo con el otro reloj en movimiento. Ah no, si eso ocurriera, el hombre de la nave podría utilizar este desajuste entre sus dos relojes para determinar la velocidad de su nave, lo que hemos estado suponiendo que es imposible. No necesitamos saber nada sobre la maquinaria del nuevo reloj que pudiera causar el efecto; simplemente sabemos que, sea cual sea la razón, parecerá que va lento, igual que el primero.

Mi pregunta:

Permítanme llamar a los dos relojes de luz $L_1$ (inmóvil), $L_2$ (en movimiento), y los dos relojes supuestamente perfectos de mecanismo desconocido como $P_1$ (inmóvil), $P_2$ (en movimiento). El observador en la nave espacial nunca verá un desajuste entre sus dos relojes locales ( $L_2$ y $P_2$ ). Es el observador inmóvil el que ve $L_2$ ralentización con respecto a sus relojes locales ( $L_1$ y $P_1$ ).

Nada en el argumento parece impedir $P_2$ que aparece normal para el observador estacionario (es decir, el puede ver $P_2$ en sintonía con $L_1$ y $P_1$ ). A la estacionaria estacionario $L_2$ y $P_2$ parecen no estar de acuerdo, pero el observador en la nave espacial los ve sincronizados. Por tanto, no se viola el principio de relatividad.

Answer 1

El hecho clave es que el observador en la nave espacial observa su reloj de luz $L_2$ tictac sincronizado con su reloj perfecto $P_2$ lo que significa que cada tick de $L_2$ ocurre simultáneamente con uno de $P_2$ en la misma ubicación espacial . La relatividad nos obliga a renunciar a la noción de simultaneidad temporal, que es lo que permite que toda la extraña gestión del espacio y el tiempo tenga sentido al final, pero esto sólo es válido para acontecimientos separados espacialmente. Si un observador ve que dos acontecimientos ocurren al mismo tiempo y en el mismo lugar, todos los observadores deben estar de acuerdo con él.

En este caso particular, el observador "estacionario" debe por tanto observar $P_2$ para marcar simultáneamente con $L_2$ y, por tanto, a la misma velocidad. Cuando se dice

Nada en el argumento parece impedir $P_2$ que aparece normal al observador estacionario

lo que impide que eso ocurra es la fijación de $P_2$ a los de $L_2$ por el hecho de que son observados como simultáneos por el observador en movimiento.

Answer 2

Las típicas explicaciones de pregrado sobre la dilatación del tiempo utilizando relojes de luz son una introducción razonable, pero dan una idea demasiado simplificada y, en última instancia, engañosa de lo que es la dilatación del tiempo y cómo se produce. El hecho clave que hay que entender es que el tiempo transcurrido que muestra un reloj es igual a la longitud de la línea del mundo del reloj, y que la longitud es una invariante que tiene el mismo valor para todos los observadores.

Supongamos que un reloj se mueve una distancia $dx$ en un tiempo $dt$ (para simplificar, consideraremos sólo una dimensión espacial), entonces la longitud de la trayectoria trazada por el reloj se calcula utilizando la métrica:

$$ d\tau^2 = dt^2 - \frac{dx^2}{c^2} \tag{1} $$

donde $d\tau$ es la longitud del recorrido y se denomina momento oportuno . La ecuación (1) se denomina Métrica de Minkowski y es la ecuación fundamental que define la relatividad especial. Si las coordenadas $t$ y $x$ son el marco de reposo del reloj entonces $dx = 0$ porque en el marco de reposo del reloj su posición no cambia. En este caso la ecuación (1) se simplifica a:

$$ d\tau^2 = dt^2 \tag{2} $$

y tenemos el resultado de que la longitud de la línea del mundo del reloj, su tiempo propio $\tau$ es igual al tiempo que marca el reloj, que es donde empezamos.

Pero ahora supongamos que estoy viendo el reloj en movimiento y mis coordenadas son $t'$ y $x'$ . En mis coordenadas el reloj se mueve tan $dx' \ne 0$ y calculo que es el momento adecuado:

$$ d\tau^2 = dt'^2 - \frac{dx'^2}{c^2} \tag{3} $$

Pero la longitud del camino $d\tau$ es un invariante que tiene el mismo valor para todos los observadores en todos los marcos independientemente de cómo se estén moviendo. Eso significa que puedo igualar las ecuaciones (2) y (3) para obtener:

$$ dt^2 = dt'^2 - \frac{dx'^2}{c^2} \tag{4} $$

Recuerde que $dt'$ es mi coordenada horaria y $dt$ es la coordenada de tiempo del reloj, por lo que la ecuación (4) nos dice inmediatamente que mi tiempo y el tiempo del reloj deben ser diferentes. Podemos ser más precisos observando que en mis coordenadas la velocidad del reloj viene dada por:

$$ v(t') = \frac{dx'}{dt'} $$

y por lo tanto eso:

$$ dx' = v(t')dt' $$

donde la velocidad que mido, $v(t')$ puede ser cualquier función del tiempo, no tiene por qué ser una velocidad constante. Sustituyendo esto en la ecuación (4) obtenemos la relación entre el tiempo del reloj y mi tiempo:

$$ dt^2 = dt'^2 \left(1 - \frac{v(t')^2}{c^2}\right) \tag{5} $$

Este es el resultado clave porque muestra que la hora del reloj $dt$ debe ser menor que mi tiempo $dt'$ para cualquier velocidad $v \ne 0$ . Esto es lo que significa la dilatación del tiempo. Nótese que no hemos dicho nada sobre qué tipo de reloj es, y que no hemos tenido que construir ningún diagrama complicado en el que intervengan rayos de luz. Este resultado se deduce inmediatamente del punto de partida de que la geometría del espaciotiempo de la relatividad general está descrita por la métrica de Minkowski.

Answer 3

Tienes razón en que si L2 y P2 parecen estar en desacuerdo para el observador estacionario, pero parecen estar en sincronía para el observador en la nave espacial, la prueba se vendría abajo.

Sin embargo, es difícil imaginar una situación así. Imagine que ambos relojes emiten un breve pulso de luz cada segundo. Comparando el número de destellos de cada reloj, se puede comprobar si están sincronizados. Como los impulsos luminosos de los dos relojes tienen que recorrer el mismo camino hasta el observador inmóvil, tardarán lo mismo en llegar. Por lo tanto, el observador estacionario siempre llegará a la misma conclusión que un observador local sobre la sincronización de los relojes.