Demostrando que dos proyecciones están a lo sumo distancia 1

Question

Estoy tratando de resolver el primer problema en El"Libro Azul" por M. Rørdam. El problema es el siguiente:

• Deje $p$ $q$ ser proyecciones en un $C^*$-álgebra $A$. Demostrar que $\Vert p - q \Vert \leq 1$.

Para mí, parece que este problema debe tener una solución sencilla y elegante, pero no soy capaz de producir. He logrado reducir el problema ligeramente de la siguiente manera.

Poner $s = p-pq$$ t = q-pq$. Sumando y restando $pq$ obtenemos $\Vert p - q \Vert = \Vert (p-pq) - (q-pq) \Vert = \Vert s-t \Vert.$ es sencillo comprobar que $s^*t = 0 = t^*s$ y $st^* = 0 = ts^*$. Esto significa que si nos damos cuenta de $A$ sobre un espacio de Hilbert, entonces los operadores de $s$ $t$ han ortogonal rango y dominio. Ahora me gustaría que a la conclusión de que la $\Vert p - q \Vert = \Vert s-t \Vert \overset{?}{\leq} \max\{ \Vert s \Vert, \Vert t \Vert \} = 1$. La última igualdad se mantiene desde $\Vert s \Vert = \Vert p(1_{\tilde A} - q) \Vert \leq 1$ desde $p$ $1_{\tilde A} - q$ son ambas proyecciones, y de manera similar para $t$.

Así que, lo que realmente me gustaría saber es si los obligados por encima de realidad tiene, y si es así, por qué. A saber:

• Si dos operadores de $S,T \in \mathcal{B}(H)$ satisfacción $S^*T = 0$ $ST^* = 0$ también satisfacer $\Vert S-T \Vert \leq \max\{ \Vert S \Vert, \Vert T \Vert \}$?

Alternativa pruebas (o meras sugerencias) de la originial problema también es apreciado!

Answer 1

Deje que$p,q$ sean proyecciones en algunos c * -algebra$A$. Entonces $\sigma(p)\subseteq\{0,1\}$. Por el cálculo funcional,$\sigma(\frac{1}{2}-p)\subseteq\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$ y por lo tanto$\frac{1}{2}-p$ es autoadjunto (el radio espectral es igual a la norma), lo que implica que$||\frac{1}{2}-p||=\frac{1}{2}$. Por lo tanto$||p-q||=||(\frac{1}{2}-p)-(\frac{1}{2}-q)||\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

Edición: Esto supone que$A$ es unital. Si no, pase a la unificación. Dado que la norma sobre la unificación extiende la norma en$A$, el resultado se mantiene.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Jake, aquí está la respuesta a la pregunta del OP:

Si$TS^*=0$, entonces$T^*TS^*S=0$. Si se sigue que las proyecciones de rango de$T^*T$ y$S^*S$ son ortogonales entre sí. Dado$x\in H$, escribimos$x=x_T+x_S+x_0$, donde$x_T\in\text{ran}\,T^*T$,$x_S\in\text{ran}\,S^*S$. Usando también$S^*T=0$, \begin{align} \|T-S\|^2&=\|(T-S)^*(T-S)\|=\|T^*T+S^*S\|\\ \ \\ &=\sup\{\langle (T^*T+S^*S)x,x\rangle:\ \|x\|=1\}\\ \ \\ &=\sup\{\langle T^*Tx_T,x_T\rangle+\langle S^*Sx_S,x_S\rangle:\ \|x\|=1\}\\ \ \\ &\leq\sup\{\|T\|^2\|x_T\|^2+\|S^2\|\|x_S\|^2:\ \|x\|=1\}\\ \ \\ &\leq\max\{\|T\|,\|S\|\}^2\,\sup\{\|x_T\|^2+\|x_S\|^2:\ \|x\|=1\}\\ \ \\ &\leq\max\{\|T\|,\|S\|\}^2. \end {align}