Identificar un paquete de líneas en$\mathbb{P}^1$

Question

Tengo un geométrica de la línea de paquete de $L$$\mathbb{P}^1 = \{[x_0:x_1]\}$. Con respecto a la norma afín cubierta $U_0 = \{x_0 \neq 0\}$$U_1 = \{x_1 \neq 0\}$, tengo la transición de la función de $[x_0:x_1] \mapsto (\frac{x_0}{x_1})^n$. Si no me equivoco, el invertible gavilla de secciones $\mathscr{L}$ asociado a esta línea de paquete debe ser \begin{align*} \mathscr{L}(U) = \{&(h_0: U \cap U_0 \to k, h_1: U \cap U_1 \to k) \mid \\ &h_0([x_0:x_1]) = (\frac{x_0}{x_1})^n h_1([x_0:x_1]) \text{ on } U \cap U_0 \cap U_1\} \\ \Gamma(\mathbb{P}^1, \mathscr{L}) = \{&(h_0 \in k[x_0,x_1,x_0^{-1}], h_1 \in k[x_0,x_1,x_1^{-1}]) \mid \frac{h_0}{x_0^n} = \frac{h_1}{x_1^n} \text{ on } U \cap U_0 \cap U_1\}. \end{align*}

Por la clasificación de la línea de paquetes en el espacio proyectivo, la gavilla $\mathscr{L}$ es isomorfo a $\mathscr{O}_{\mathbb{P}^1}(m)$ algunos $m \in \mathbb{Z}$. Mi pregunta es: que $m$ es?

Mi conjetura es que el $\mathscr{L} \cong \mathscr{O}_{\mathbb{P}^1}(-n)$, pero me parece que no puede mostrar esto. De hecho, la gavilla escribí no parecen ser coherentes ya que no hay límite en los grados de $h_0$$h_1$, así que debo estar haciendo algo mal. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Su conjetura $\mathcal L=\mathcal O_{\mathbb P^1}(-n)$ es correcto, como es su descripción de las secciones.
La gavilla $\mathcal L$ es coherente ya que localmente es isomorfo a $\mathcal O_{\mathbb P^1}$, una coherente gavilla, y por definición, la coherencia puede ser comprobado a nivel local.

La no-acotamiento de los grados de $h_0$ $h_1$ es irrelevante:
Espero que usted está convencido de que el estructural gavilla $\mathcal O_{\mathbb P^1}$ es coherente.
Pero esto no impide que $\Gamma(U_0, \mathcal O_{\mathbb P^1})=\Gamma(\mathbb A^1, \mathcal O_{\mathbb P^1})$ a de ser igual a $k[x]$, el álgebra de todos los polinomios sobre la base de campo de $k$, sin ningún tipo de condición de acotamiento de su grado.