Cuestión de probabilidad en la que intervienen los desórdenes

Question

$n$ parejas casadas vinieron a una noche de baile. Para un baile las mujeres eligen al azar a los hombres, $X$ es el número de parejas casadas que bailan, necesitamos encontrar la distribución de $X$ y su función generadora de probabilidad.

Mi intento:

Si $k$ parejas casadas están bailando, entonces hay $\binom n k$ formas de seleccionar a los $k$ parejas fuera de $n$ También todos los demás $n-k$ mujeres y $n-k$ los hombres se mezclan para que $n-k$ las parejas casadas no bailan juntas. El número de formas de hacer esa mezcla es el número de desórdenes para $n-k$ elementos, es decir $(n-k)!\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}$ . Hay $n!$ posibles formas de construir parejas de baile. Así:

$$P(X=k)=\binom n k \frac{(n-k)!}{n!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}=\frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!} \tag{A}$$

$$g_X(t)=E[t^X]=\sum_{k=0}^{n}t^k\frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!} \tag{B}$$

Sé que $g_X(t)$ se supone que es $\sum_{k=0}^{n}\frac{(t-1)^k}{k!}$ .

¿Alguna idea de cómo puedo llegar allí?

Answer 1

Expansión binomial: $$\sum_{k=0}^n \frac{(t-1)^k}{k!} = \sum_{k=0}^n \sum_{i = 0}^{k} \frac{1}{k!} {k \choose i} t^i (-1)^{k - i}$$

Utilice $\sum_{x = 0}^b \sum_{y=0}^x f(x,y) = \sum_{y = 0}^b \sum_{x=y}^b f(x, y)$ ya que ambos son sumas sobre $(x, y)$ con $0 \le y \le x \le b$ :

$$ = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{k=i}^n \frac{1}{k!} {k \choose i} t^i (-1)^{k - i}$$

Invertir los nombres de las variables para $i$ y $k$ :

$$ = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{i=k}^n \frac{1}{i!} {i \choose k} t^k (-1)^{i - k}$$

Sustituir $j = i-k$ :

$$ = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{1}{(j+k)!} {j+k \choose k} t^k (-1)^{j}$$

Amplía la combinación:

$$ = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{1}{(j+k)!} \frac{(j+k)!}{k!(j+k-k)!} t^k (-1)^{j}$$

Ordenado:

$$ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{t^k}{k!}\sum_{j=0}^{n-k} \frac{(-1)^{j}}{j!} $$