Usando varias veces la Regla de L'Hospital obtuve$$\lim_{x \rightarrow +\infty}{e^x \left (e - \left(1+\dfrac{1}{x}\right )^x\right)} = +\infty.$ $ ¿Es posible encontrar este límite sin L'Hospital?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Oli
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89
Lo natural es mirar el logaritmo de$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$, es decir, en$x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)$. Use la serie$$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\cdots.$ $ De esto podemos obtener buenas estimaciones de la diferencia entre$e$ y$(1+1/x)^x$ cuando$x$ es grande. Para el cálculo, la expansión de la serie de$e^t$ es útil.
SteppingHat
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6
Necesitamos demostrar que,$$\lim_{x \rightarrow +\infty}{e^x \left (e - \left(1+\dfrac{1}{x}\right )^x\right)} = +\infty.$ $
considere$$\lim_{x \rightarrow +\infty}{e^x \left (e - M\right)} $$
where, $$M = \left(1+\dfrac{1}{x}\right )^x$$
if we prove that $ M $ tiene un límite finito, hemos terminado.
Tenga en cuenta que,
1. M is increasing function of x
2. M is bounded above
primero puede probar como un ejercicio, para el segundo$$M = \left(1+\dfrac{1}{x}\right )^x = \left(\left(1+\dfrac{1}{x}\right )^{x/k} \right)^k < \left(\frac{1}{1-\frac{1}{x} \cdot\frac{x}{k}}\right)^k = \left ( \frac{1}{\left(1-\frac{1}{k}\right)^k}\right)$$
so that, $$M< \frac{1}{\left(1-\frac{1}{k}\right)^k}$$ for any whole k.
$$\lim_{x \rightarrow +\infty}{e^x \left (e - M\right)} = \lim_{x \rightarrow +\infty}{e^x L} = +\infty $ $
