Voy a dejar los pasos intermedios de modo que usted puede ver cómo la solución desarrollada; para resumir: El resultado es una hipótesis para una solución completa, basada en una fuerte evidencia numérica, pero hasta ahora sin una idea de cómo probar su optimalidad. Para todos los $n$, la solución consiste en comenzar en algún punto a a $3$ ranuras de distancia de (por ejemplo, a la derecha de) el centro (exactamente $3$ ranuras para $n\ge16$), luego va hacia el exterior, siempre alternando izquierda y derecha, excepto, a veces, ir a la izquierda dos veces en una fila. La cuenta de la alternancia se ejecuta antes de cada doble a la izquierda dependen sutilmente en $n$, pero se estabilizan, uno tras otro, hasta que de $n=216$ sólo en el último recuento de los cambios, con el otro$5$$18,17,35,69,139$.
Continuando con la exitosa tradición de construcción en el Tad de las respuestas (véase la Búsqueda de dinero real en un extraño dispositivo de pesaje), me di cuenta de que Tad del permutaciones siempre surgen de la intercalación de una ascendente y descendente de la secuencia. Sólo hay $2^{2n-2}$ tales permutaciones, y puesto que los dos últimos elementos en la permutación no importa, sólo hay $2^{2n-4}$ tales permutaciones para ser probado, así que pensé que no tenía sentido tratar sistemáticamente todas esas permutaciones. Resulta que a Poco que los resultados son óptimos entre tales permutaciones.
Aquí están mis resultados; estoy repitiendo el que Poco había obtenido ya porque estoy recibiendo más "canónica" la forma de las permutaciones, que podría hacer más fácil para detectar patrones.
\begin{array}{ccc}
n&\text{bound}&\text{solution}\\\hline
2&6&2, 3, 1\\
3&21&4, 3, 2, 5, 1\\
4&63&5, 4, 3, 6, 2, 7, 1\\
5&174&6, 5, 4, 7, 3, 8, 2, 9, 1\\
6&466&7, 6, 5, 8, 4, 9, 3, 10, 2, 11, 1\\
7&1232&8, 7, 6, 9, 5, 10, 4, 11, 3, 12, 2, 13, 1\\
8&3239&9, 8, 7, 10, 6, 11, 5, 12, 4, 13, 3, 14, 2, 15, 1\\
9&8501&11, 10, 12, 9, 8, 13, 7, 6, 14, 5, 15, 4, 3, 16, 2, 17, 1\\
10&22502&12, 11, 13, 10, 14, 9, 8, 15, 7, 6, 16, 5, 17, 4, 3, 18, 2, 19, 1\\
11&59499&13, 12, 14, 11, 15, 10, 9, 16, 8, 17, 7, 6, 18, 5, 19, 4, 3, 20, 2, 21, 1\\
12&156678&14, 13, 15, 12, 16, 11, 10, 17, 9, 18, 8, 7, 19, 6, 20, 5, 4, 21, 3, 22, 2, 23, 1\\
13&411611&15, 14, 16, 13, 17, 12, 18, 11, 10, 19, 9, 20, 8, 7, 21, 6, 22, 5, 4, 23, 3, 24, 2, 25, 1\\
14&1082450&16, 17, 15, 18, 14, 19, 13, 12, 20, 11, 21, 10, 9, 22, 8, 23, 7, 6, 24, 5, 25, 4, 3, 26, 2, 27, 1\\
15&2850105&17, 18, 16, 19, 15, 20, 14, 13, 21, 12, 22, 11, 10, 23, 9, 24, 8, 7, 25, 6, 26, 5, 4, 27, 3, 28, 2, 29, 1\\
16&7522558&19, 18, 20, 17, 21, 16, 15, 22, 14, 23, 13, 12, 24, 11, 25, 10, 9, 26, 8, 27, 7, 6, 28, 5, 29, 4, 3, 30, 2, 31, 1\\
17&19862032&20, 19, 21, 18, 22, 17, 23, 16, 15, 24, 14, 25, 13, 12, 26, 11, 27, 10, 9, 28, 8, 29, 7, 6, 30, 5, 31, 4, 3, 32, 2, 33, 1
\end{array}
No parece haber un patrón, a partir de a $n=11$, de generalmente alternando los pasos pero añadiendo un extra de paso cada $5$ pasos, pero no está claro exactamente cómo regular que es.
Aquí está el código.
P. S.: he comprobado que, a partir de $n=4$, la solución que se muestra es el único (hasta simetría) óptima entre estos interleaved permutaciones. Aquí están las representaciones, para que sea más fácil ver los patrones; los últimos dos flechas son irrelevantes, yo sólo incluido para realizar la correspondencia con las soluciones en los números anteriores más clara.
\begin{array}{ccc}
n&\text{bound}&\text{solution}\\\hline
2&6&\uparrow\downarrow\\
3&21&\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
4&63&\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
5&174&\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
6&466&\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
7&1232&\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
8&3239&\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
9&8501&\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
10&22502&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
11&59499&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
12&156678&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
13&411611&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
14&1082450&\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
15&2850105&\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
16&7522558&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
17&19862032&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
18&52296620&\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\\
\end{array}
Siguiente etapa: Desde el arriba/abajo patrón parece siempre consisten en la alternancia de arriba/abajo con algunas de las bajadas duplicado, he intentado sistemáticamente todas esas permutaciones para comprobar si el patrón de que la duplicación se produce cada $5$ pasos persiste. No; en lugar de eso, lo que persiste de $n=15$ $n=35$es que no son exactamente $5$ "doblar".
\begin{array}{ccc}
\def\u{\uparrow}\def\d{\downarrow}
n&\text{bound}&\text{solution}\\\hline
2&6&\u\d\\
3&21&\u\d\u\d\\
4&63&\d\d\u\d\u\d\\
5&174&\d\d\u\d\u\d\u\d\\
6&466&\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
7&1232&\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
8&3239&\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
9&8501&\d\u\d\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\\
10&22502&\d\u\d\u\d\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\\
11&59499&\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\\
12&156678&\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
13&411611&\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
14&1082450&\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\\
15&2850105&\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
16&7522558&\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\\
17&19862032&\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\\
18&52296620&\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
19&137319583&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
20&360144589&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
21&944521421&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
22&2477100908&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
23&6496187851&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
24&17023599948&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\\
25&44604984241&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
26&116811190426&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
27&305893372041&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
28&801042337577&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
29&2097687354880&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
30&5493183075966&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
31&14383060457018&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
32&37658422859324&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
33&98594676094434&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
34&258133753770289&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
35&675827901330148&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
36&1769404155218244&\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\d\u\d\u\d\u\d\u\d\u\d\\
\end{array}
Aquí están los mismos resultados (con $n=37$ agregado), codificado como ejecutar los recuentos de arriba/abajo alternancias separados por doble downs:
\begin{array}{ccc}
n&\text{bound}&\text{solution}\\\hline
2&6&2\\
3&21&4\\
4&63&0,4\\
5&174&0,6\\
6&466&0,8\\
7&1232&0,10\\
8&3239&0,12\\
9&8501&2,1,3,4\\
10&22502&4,1,3,4\\
11&59499&4,3,3,4\\
12&156678&4,3,3,6\\
13&411611&6,3,3,6\\
14&1082450&5,3,3,3,4\\
15&2850105&5,3,3,3,6\\
16&7522558&4,3,3,3,3,4\\
17&19862032&6,3,3,3,3,4\\
18&52296620&6,3,3,3,3,6\\
19&137319583&8,3,3,3,3,6\\
20&360144589&8,3,3,5,3,6\\
21&944521421&8,3,5,3,5,6\\
22&2477100908&8,3,5,5,5,6\\
23&6496187851&8,5,5,5,5,6\\
24&17023599948&10,5,5,5,5,6\\
25&44604984241&10,5,5,5,5,8\\
26&116811190426&12,5,5,5,5,8\\
27&305893372041&12,5,5,7,5,8\\
28&801042337577&12,5,5,7,7,8\\
29&2097687354880&12,5,7,7,7,8\\
30&5493183075966&12,7,7,7,7,8\\
31&14383060457018&12,7,7,7,7,10\\
32&37658422859324&14,7,7,7,7,10\\
33&98594676094434&14,7,7,9,7,10\\
34&258133753770289&14,7,7,9,9,10\\
35&675827901330148&14,7,9,9,9,10\\
36&1769404155218244&14,9,9,9,9,10\\
37&4632452165313827&16,9,9,9,9,10\\
\end{array}
He aquí un logarítmica de la parcela resultante de la agigantados a través de $n$, con la línea correspondiente a $\log(y)=0.969098n+0.278972$ ajuste de los resultados muy de cerca:
![logarithmic plot of calculated bounds over n]()
Desde el mínimo ejecutar contar nunca parece disminuir, empecé a probar sólo permutaciones con un mínimo de ejecutar contar, permaneciendo por debajo del mínimo real para permitir un poco de descontrol, pero poco a poco aumentar el mínimo para permitir una mayor $n$. El número de carreras que aún estaba libre, por lo que una solución con doble seis downs le hubiera permitido, pero la posibilidad no puede excluirse la posibilidad de que una solución de este tipo habría tenido una carrera recuento por debajo del mínimo y por lo tanto habría sido descartado. Aquí están los resultados:
\begin{array}{ccc}
n&\text{bound}&\text{solution}\\\hline
38&12128128835847001&16,9,9,9,9,12\\
39&31752024718355852&16,9,9,11,9,12\\
40&83128328132235590&16,9,9,11,11,12\\
41&217633961464664291&16,9,11,11,11,12\\
42&569776076967267411&16,11,11,11,11,12\\
43&1491697805825447009&18,11,11,11,11,12\\
44&3905325498008331133&18,11,11,11,11,14\\
45&10224282933726344858&18,11,11,13,11,14\\
46&26767541287332858104&18,11,11,13,13,14\\
47&70078388001734432885&18,11,13,13,13,14\\
48&183467739835053564767&18,13,13,13,13,14\\
49&480324957118576986606&18,13,13,13,13,16\\
50&1257507207702922491305&18,13,13,15,13,16\\
51&3292196988703000057276&18,13,13,15,15,16\\
52&8619084603082606409621&18,13,15,15,15,16\\
53&22565058712862120799568&18,15,15,15,15,16\\
54&59076093869511275059946&18,15,15,15,15,18\\
55&154663224262705303376239&18,15,15,15,17,18\\
56&404913584709450796650491&18,15,15,17,17,18\\
57&1060077545022388295148722&18,15,17,17,17,18\\
58&2775319073549490260205088&18,17,17,17,17,18\\
59&7265879721619865410265014&18,17,17,17,17,20\\
60&19022320115840525778394696&18,17,17,17,19,20\\
61&49801080729814231503727780&18,17,17,19,19,20\\
62&130380922345572385311434722&18,17,19,19,19,20\\
63&341341686578978588756712358&18,17,19,19,19,22\\
64&893644137559497376528334504&18,17,19,19,21,22\\
65&2339590726811740536644613072&18,17,19,21,21,22\\
66&6125128044738931674365962964&18,17,21,21,21,22\\
67&16035793409270234188448079012&18,17,21,21,21,24\\
68&41982252184224178437539670397&18,17,21,21,23,24\\
69&109910963148283977555790730436&18,17,21,23,23,24\\
70&287750637273381498350921050654&18,17,23,23,23,24\\
71&753340948684651092999237722488&18,17,23,23,23,26\\
72&1972272208788470499474539665204&18,17,23,23,25,26\\
73&5163475677714219913350689137188&18,17,23,25,25,26\\
74&13518154824441290411576366555186&18,17,25,25,25,26\\
75&35390988795697439278822342886782&18,17,25,25,25,28\\
76&92654811562705166049135736550613&18,17,25,25,27,28\\
77&242573445892647393746991810953476&18,17,25,27,27,28\\
78&635065526115828168008464142422480&18,17,27,27,27,28\\
79&1662623132455441051432954330192870&18,17,27,27,27,30\\
80&4352803871250866057941284067804134&18,17,27,27,29,30\\
81&11395788481298729007027429355459050&18,17,27,29,29,30\\
82&29834561572649264127826347038980028&18,17,29,29,29,30\\
83&78107896236653244353987095675034922&18,17,29,29,29,32\\
84&204489127137313012297066889013936544&18,17,29,29,31,32\\
85&535359485175296566394760822973220276&18,17,29,31,31,32\\
86&1401589328388601697072447570729328594&18,17,31,31,31,32\\
87&3669408499990537951967408951471847094&18,17,31,31,31,34\\
\end{array}
Es interesante cómo la primera de las $18$ y, a continuación, el $17$ tranquilizarse mientras que el resto de los números siguen aumentando – eso no es lo que yo hubiera esperado a partir de los resultados anteriores.
Actualización: Esta interesante el comportamiento continúa. Ya que de $n=16$ (la primera $n$ con doble cinco downs) el próximo ejecutar contar tupla puede ser obtenido mediante la modificación de la cuenta por $\pm2$ (de hecho, con la única excepción de $n=20\rightarrow n=21$, podría ser obtenido mediante la adición de $2$ a una de las cuentas), ahora me estrechó la búsqueda a dichos incrementos. El resultado es bastante sorprendente (para mí). Una carrera cuenta despues de que el otro se estabiliza, hasta que de $n=216$ sólo en el último recuento de los cambios, es decir, el inicio de la solución es fijo, con la $5$ doble downs en lugares específicos, y después de eso es sólo la alternancia de arriba/abajo. He comprobado que esto sigue siendo así hasta el $n=5000$. Por lo tanto, a pesar de que a veces un tanto erráticos cambios en la ejecución de conteo en la parte inferior $n$, los resultados arrojan una hipótesis plausible para una solución completa para el juego. Para resumir, los supuestos en los que tendría que ser validado para probar esta hipótesis son que (hasta simetría).
- más allá de $n=12$, la solución sigue el resultado de la intercalación de una ascendente y descendente de la secuencia;
- más allá de $n=18$, la solución sigue consisten en la alternancia de subidas y bajadas, excepto para algunos el doble de descensos;
- más allá de $n=37$, el mínimo de la cuenta de la alternancia de carreras no disminuyen bruscamente;
- más allá de $n=87$, el número de dobles descensos permanece $5$, y la carrera se cuenta sólo cambio por $\pm2$; y
- más allá de $n=216$, sólo el último recuento de los cambios.
La resultante de las rentabilidades son muy bien descrito por $\log y\simeq0.962445n+0.451906$; la desviación no es visible en una parcela de $n$$1000$.
Aquí están la ejecución completa cuenta para esta hipótesis de solución, hasta el punto en el que sólo el último recuento sigue cambiando:
\begin{array}{cc}
n&\text{solution}\\\hline
2&2\\
3&4\\
4&0,4\\
5&0,6\\
6&0,8\\
7&0,10\\
8&0,12\\
9&2,1,3,4\\
10&4,1,3,4\\
11&4,3,3,4\\
12&4,3,3,6\\
13&6,3,3,6\\
14&5,3,3,3,4\\
15&5,3,3,3,6\\
16&4,3,3,3,3,4\\
17&6,3,3,3,3,4\\
18&6,3,3,3,3,6\\
19&8,3,3,3,3,6\\
20&8,3,3,5,3,6\\
21&8,3,5,3,5,6\\
22&8,3,5,5,5,6\\
23&8,5,5,5,5,6\\
24&10,5,5,5,5,6\\
25&10,5,5,5,5,8\\
26&12,5,5,5,5,8\\
27&12,5,5,7,5,8\\
28&12,5,5,7,7,8\\
29&12,5,7,7,7,8\\
30&12,7,7,7,7,8\\
31&12,7,7,7,7,10\\
32&14,7,7,7,7,10\\
33&14,7,7,9,7,10\\
34&14,7,7,9,9,10\\
35&14,7,9,9,9,10\\
36&14,9,9,9,9,10\\
37&16,9,9,9,9,10\\
38&16,9,9,9,9,12\\
39&16,9,9,11,9,12\\
40&16,9,9,11,11,12\\
41&16,9,11,11,11,12\\
42&16,11,11,11,11,12\\
43&18,11,11,11,11,12\\
44&18,11,11,11,11,14\\
45&18,11,11,13,11,14\\
46&18,11,11,13,13,14\\
47&18,11,13,13,13,14\\
48&18,13,13,13,13,14\\
49&18,13,13,13,13,16\\
50&18,13,13,15,13,16\\
51&18,13,13,15,15,16\\
52&18,13,15,15,15,16\\
53&18,15,15,15,15,16\\
54&18,15,15,15,15,18\\
55&18,15,15,15,17,18\\
56&18,15,15,17,17,18\\
57&18,15,17,17,17,18\\
58&18,17,17,17,17,18\\
59&18,17,17,17,17,20\\
60&18,17,17,17,19,20\\
61&18,17,17,19,19,20\\
62&18,17,19,19,19,20\\
63&18,17,19,19,19,22\\
64&18,17,19,19,21,22\\
65&18,17,19,21,21,22\\
66&18,17,21,21,21,22\\
67&18,17,21,21,21,24\\
68&18,17,21,21,23,24\\
69&18,17,21,23,23,24\\
70&18,17,23,23,23,24\\
71&18,17,23,23,23,26\\
72&18,17,23,23,25,26\\
73&18,17,23,25,25,26\\
74&18,17,25,25,25,26\\
75&18,17,25,25,25,28\\
76&18,17,25,25,27,28\\
77&18,17,25,27,27,28\\
78&18,17,27,27,27,28\\
79&18,17,27,27,27,30\\
80&18,17,27,27,29,30\\
81&18,17,27,29,29,30\\
82&18,17,29,29,29,30\\
83&18,17,29,29,29,32\\
84&18,17,29,29,31,32\\
85&18,17,29,31,31,32\\
86&18,17,31,31,31,32\\
87&18,17,31,31,31,34\\
88&18,17,31,31,33,34\\
89&18,17,31,33,33,34\\
90&18,17,33,33,33,34\\
91&18,17,33,33,33,36\\
92&18,17,33,33,35,36\\
93&18,17,33,35,35,36\\
94&18,17,33,35,35,38\\
95&18,17,35,35,35,38\\
96&18,17,35,35,37,38\\
97&18,17,35,37,37,38\\
98&18,17,35,37,37,40\\
99&18,17,35,37,39,40\\
100&18,17,35,39,39,40\\
101&18,17,35,39,39,42\\
102&18,17,35,39,41,42\\
103&18,17,35,41,41,42\\
104&18,17,35,41,41,44\\
105&18,17,35,41,43,44\\
106&18,17,35,43,43,44\\
107&18,17,35,43,43,46\\
108&18,17,35,43,45,46\\
109&18,17,35,45,45,46\\
110&18,17,35,45,45,48\\
111&18,17,35,45,47,48\\
112&18,17,35,47,47,48\\
113&18,17,35,47,47,50\\
114&18,17,35,47,49,50\\
115&18,17,35,49,49,50\\
116&18,17,35,49,49,52\\
117&18,17,35,49,51,52\\
118&18,17,35,51,51,52\\
119&18,17,35,51,51,54\\
120&18,17,35,51,53,54\\
121&18,17,35,53,53,54\\
122&18,17,35,53,53,56\\
123&18,17,35,53,55,56\\
124&18,17,35,55,55,56\\
125&18,17,35,55,55,58\\
126&18,17,35,55,57,58\\
127&18,17,35,57,57,58\\
128&18,17,35,57,57,60\\
129&18,17,35,57,59,60\\
130&18,17,35,59,59,60\\
131&18,17,35,59,59,62\\
132&18,17,35,59,61,62\\
133&18,17,35,61,61,62\\
134&18,17,35,61,61,64\\
135&18,17,35,61,63,64\\
136&18,17,35,63,63,64\\
137&18,17,35,63,63,66\\
138&18,17,35,63,65,66\\
139&18,17,35,65,65,66\\
140&18,17,35,65,65,68\\
141&18,17,35,65,67,68\\
142&18,17,35,67,67,68\\
143&18,17,35,67,67,70\\
144&18,17,35,67,69,70\\
145&18,17,35,69,69,70\\
146&18,17,35,69,69,72\\
147&18,17,35,69,71,72\\
148&18,17,35,69,71,74\\
149&18,17,35,69,73,74\\
150&18,17,35,69,73,76\\
151&18,17,35,69,75,76\\
152&18,17,35,69,75,78\\
153&18,17,35,69,77,78\\
154&18,17,35,69,77,80\\
155&18,17,35,69,79,80\\
156&18,17,35,69,79,82\\
157&18,17,35,69,81,82\\
158&18,17,35,69,81,84\\
159&18,17,35,69,83,84\\
160&18,17,35,69,83,86\\
161&18,17,35,69,85,86\\
162&18,17,35,69,85,88\\
163&18,17,35,69,87,88\\
164&18,17,35,69,87,90\\
165&18,17,35,69,89,90\\
166&18,17,35,69,89,92\\
167&18,17,35,69,91,92\\
168&18,17,35,69,91,94\\
169&18,17,35,69,93,94\\
170&18,17,35,69,93,96\\
171&18,17,35,69,95,96\\
172&18,17,35,69,95,98\\
173&18,17,35,69,97,98\\
174&18,17,35,69,97,100\\
175&18,17,35,69,99,100\\
176&18,17,35,69,99,102\\
177&18,17,35,69,101,102\\
178&18,17,35,69,101,104\\
179&18,17,35,69,103,104\\
180&18,17,35,69,103,106\\
181&18,17,35,69,105,106\\
182&18,17,35,69,105,108\\
183&18,17,35,69,107,108\\
184&18,17,35,69,107,110\\
185&18,17,35,69,109,110\\
186&18,17,35,69,109,112\\
187&18,17,35,69,111,112\\
188&18,17,35,69,111,114\\
189&18,17,35,69,113,114\\
190&18,17,35,69,113,116\\
191&18,17,35,69,115,116\\
192&18,17,35,69,115,118\\
193&18,17,35,69,117,118\\
194&18,17,35,69,117,120\\
195&18,17,35,69,119,120\\
196&18,17,35,69,119,122\\
197&18,17,35,69,121,122\\
198&18,17,35,69,121,124\\
199&18,17,35,69,123,124\\
200&18,17,35,69,123,126\\
201&18,17,35,69,125,126\\
202&18,17,35,69,125,128\\
203&18,17,35,69,127,128\\
204&18,17,35,69,127,130\\
205&18,17,35,69,129,130\\
206&18,17,35,69,129,132\\
207&18,17,35,69,131,132\\
208&18,17,35,69,131,134\\
209&18,17,35,69,133,134\\
210&18,17,35,69,133,136\\
211&18,17,35,69,135,136\\
212&18,17,35,69,135,138\\
213&18,17,35,69,137,138\\
214&18,17,35,69,137,140\\
215&18,17,35,69,137,142\\
216&18,17,35,69,139,142\\
\end{array}
P. P. S.:
Podemos obtener la exacta tasa de crecimiento de la rentabilidad de una relación de recurrencia. Más allá de $n=216$, el principio del juego es siempre el mismo, y el final consiste en una pura ejecución de la alternancia de movimientos. Suponga que los dos últimos números de la izquierda de pie en el juego para$n$$a_n$$b_n$. A continuación, el juego para $n+1$ alcanza un punto donde los cuatro números
$$n+1\quad a_n\quad b_n\quad n+1$$
están a la izquierda, y se combinan en
$$a_n+n+1\quad a_n+b_n\quad n+1$$
y, a continuación, en
$$2a_n+b_n+n+1\quad a_n+b_n+n+1\;.$$
Así
$$
\pmatrix{a_{n+1}\\b_{n+1}}=\pmatrix{2&1\\1&1}\pmatrix{a_n\\b_n}+\pmatrix{n+1\\n+1}\;.
$$
El mayor de los valores propios de la matriz es $(3+\sqrt5)\,/\,2$, con logaritmo $0.962424$ en buen acuerdo con el conjunto de la solución.
Y una cosa más: Esta perspectiva también explica por qué hay sólo un par de dobles en los descensos. Si siempre nos alternativo, el peso de cada número en la rentabilidad es un número de Fibonacci; el peso de la primer numero es $F_{2n-1}$. (La tasa de crecimiento $(3+\sqrt5)\,/\,2$ es la plaza de Fibonacci de la tasa de crecimiento, la sección áurea $(1+\sqrt5)\,/\,2$.) Cada doble descenso cuesta un poco de este crecimiento exponencial. (Un análisis más detallado, se puede cuantificar cuánto.) Entonces no pagan a incurrir en otro doble descenso sólo para cambiar el primer número de, digamos, $4$$5$, pero no paga a cambio de un poco lejos de la $1$, ya que los factores significativos que puede ser adquirida por que. Un intento de demostrar la optimalidad de la solución probablemente debería ir en esta dirección.
Actualización:
Me trajo los resultados numéricos de un poco más de cerca a una rigurosa prueba. Ahora estoy haciendo sólo la hipótesis de que nada interesante sucede en muy alta $n$ y que la solución se intercala de forma ascendente y descendente de la secuencia, es decir, se inicia en algún lugar y luego come de su camino a los márgenes a la derecha y a la izquierda, pero no con suposiciones acerca de cuando se va a la izquierda o a la derecha. Así, en términos de mi lista numerada de los supuestos anteriores, sólo estoy haciendo suposiciones $1$ $5$ y se redujo la complicada suposiciones $2$ a través de $4$.
Sobre esa base, las soluciones de seguridad de a $n$ en los miles rápidamente puede ser determinada utilizando programación dinámica, como en este código. Se mantiene un registro para cada intervalo de $[m,n]$ de los "mejores" formas de reducir el intervalo de los puntos fronterizos $m$$n$, es decir, el "mejor" secuencias de movimientos en el interior del intervalo sin jugar bien $m$ o $n$. El motivo por el susto comillas alrededor de "lo mejor" es que el resultado se caracteriza por los dos valores que se $m$ $n$ terminan con, y dichos pares de valores no son necesariamente comparables. El código que realiza un seguimiento de todos los pares no dominados por otro par. La iteración se inicializa con intervalos de $[m,m+1]$ sin interior, cuyo valor de pares son simplemente el par de valores iniciales en$m$$m+1$, y luego actualizado por el crecimiento de cada intervalo, ya sea a la izquierda o a la derecha, la recopilación de resultados y descartar a las dominadas.
Cuando todos los intervalos en el juego para algunos $n_{\text{max}}$ han sido tratados, las soluciones para todos los $n\le n_{\text{max}}$ se puede leer. Me encontré con esto hasta el $n_{\text{max}}=870$, y los resultados coincidieron con los anteriores, mostrando que las suposiciones $2$ $4$eran justificados.
Una prueba de hipótesis de $1$ podría proceder a considerar un movimiento de la secuencia como un conjunto de secuencias alternas como los aquí considerados, que se reúnen en sus fronteras a partir de tiempo al tiempo. Uno tendría que mostrar que el resultado alcanzado por dos secuencias de reunión está dominado por el resultado que podría haber sido logrado mediante la reproducción de la articulación de intervalo en una sola secuencia alternante. Esto se complica por el hecho de que en el momento en el que las secuencias que se encuentran, ellos, no de inmediato se funden en dos puntos, por lo que los resultados que se caracteriza por tres o cuatro valores han de ser considerados. Suposición $5$ podría ser susceptible de algún tipo de análisis asintótico.
