¿Es cada L-estimador un M-estimador?

Question

Este es un seguimiento a esta pregunta: ¿M-estimadores y L-estimadores se superponen?. En particular, las respuestas a esa pregunta sugieren que la L-estimadores que no son M-estimadores, pero no dar un ejemplo.

Más concretamente, supongamos que tengo un L-estimador $\ell(x_1,...,x_n)$ que es una combinación lineal de orden-estadísticas de $(x_1,...,x_n)$. Puedo escribir siempre

$\ell(x_1,...,x_n) = \operatorname{argmin}_{\theta} \sum_{i=1}^n \rho(x_i,\theta)$ para algunos la función $\rho$?

Answer 1

Un ejemplo clásico sería una media limitada.

Para la concreción considerar un 25% de media limitada, donde en promedio la mitad de los datos.

Ese es un L-estimador, pero no un M-estimador. Puede ser, en un sentido aproximado* por un Huber-tipo M-estimador pero no son lo mismo.

* (quizás 'analogía' sería un mejor término de 'aproximación' -- que no siempre podría estar muy cerca de la otra; si la distribución es bastante sesgado por ejemplo. En simétrica de los casos son muy parecidos.)

Mientras que muchos de los L-estimadores también puede ser de M-estimadores, hay muchos que no lo son.