La pregunta
¿Existe una variante del algoritmo QR de Householder para ortonormalizar un conjunto de vectores con respecto a un producto interior si no se conoce a priori ninguna base ortonormal?
Antecedentes
Supongamos que $A\in\mathbb{C}^{n,k}$ es una matriz con $\operatorname{rank}(A)=k$ . Podemos entonces calcular la factorización QR $A=QR$ con $Q=[q_1,\ldots,q_k]\in\mathbb{C}^{n,k}$ y $R\in\mathbb{C}^{k,k}$ para obtener una base ortonormal (con respecto al producto interior euclidiano) $q_1,\ldots,q_k$ de $\operatorname{range}(A)$ es decir $q_i^*q_j = \delta_{ij}$ .
Si la ortonormalidad es crítica en presencia de errores de redondeo, el algoritmo QR de Householder es el método de elección (cf. Golub, Van Loan. Matrix Computations. ). En comparación con el algoritmo Gram-Schmidt (modificado), el algoritmo QR de Householder se beneficia de las propiedades favorables de redondeo de las transformaciones de Householder.
Estoy al tanto del documento Trefethen, Triangularización de Householder de una cuasimatriz, 2009 donde el $L^2$ -El producto interno se utiliza para el algoritmo QR de Householder. Sin embargo, en el artículo de Trefethen se conoce una base ortonormal (los polinomios de Legendre).
En mi aplicación sólo la matriz hermitiana y definida positiva $B\in\mathbb{C}^{n,n}$ definiendo el producto interior $\langle x,y \rangle_B = x^* B y$ es conocido. Porque $n\gg k$ también es inviable calcular una descomposición propia de B.
Me parece que saber un La base ortonormal (es decir, la base estándar) es crucial en la construcción del algoritmo QR de Householder, pero quizá me equivoque y haya un truco para que Householder QR funcione con productos internos arbitrarios.
