Dos preguntas sobre los enteros gaussianos.

Question

Tengo dos preguntas sobre los enteros gaussianos.

1. ¿Hay algún elemento en$\mathbb{Z}[i]$ la raíz de un polinomio monico con coeficientes en$\mathbb{Z}$?
2. A la inversa, ¿algún elemento en$\mathbb{Q}(i)$ que sea la raíz de un polinomio monico con coeficientes en$\mathbb{Z}$ se encuentra en$\mathbb{Z}[i]$?

Answer 1

1)$a+bi$ es una raíz de$x^2-2ax+(a^2+b^2)=0$.

2) Para lo contrario, considere la cuadrática$x^2+bx+c$, donde$b$ y$c$ son enteros. Si las raíces son racionales, son divisores de$c$. Ahora tratamos el caso de que las raíces no son reales. De la fórmula cuadrática, si las raíces no son reales y en$\mathbb{Q}(i)$, tienen la forma$\frac{s\pm ti}{2}$, donde$s$ y$t$ son enteros.

Entonces $\frac{s^2+t^2}{4}=c$. Por lo tanto$s^2+t^2\equiv 0\pmod{4}$. Esto obliga a que$s$ y$t$ sean uniformes, y hemos terminado.