El cierre de la invertible operadores en un espacio de Banach

Question

Deje $E$ ser un espacio de Banach, $\mathcal B(E)$ el espacio de Banach de lineal acotado a los operadores y $\mathcal I$ el conjunto de todos los invertible lineal acotado a los operadores de$E$$E$. Sabemos que $\mathcal I$ es un conjunto abierto, y si $E$ es finito dimensionales, a continuación, $\mathcal I$ es denso en $\mathcal B(E)$. No es cierto que la $\mathcal I$ es denso si podemos encontrar a $T\in\mathcal B(E)$ inyectiva, no surjective con $T(E)$ cerrado en $E$, puesto que un operador no puede ser aproximada en la norma en $\mathcal B(E)$ por elementos de $\mathcal I$ (en particular, $E$ tiene que ser de infinitas dimensiones).

Así que la pregunta es (tal vez un poco vago): hay una buena caracterización de $\overline{\mathcal I}^{\mathcal B(E)}$ al $E$ es infinito dimensional? Es el caso de espacio de Hilbert más sencillo?

Answer 1

En 1, podemos encontrar una caracterización en el caso de los espacios de Hilbert. Para $T$ un operador acotado, vamos a $T=U|T|$ ser la descomposición polar de $T$, e $E(\cdot)$ ser el espectral medida de $|T|$. Definir $$\operatorname{ess\, nul}(T):=\inf\{\dim E[0,\varepsilon]H,\varepsilon>0\}.$$ A continuación, $T$ es en el cierre de la invertible los operadores de la norma si y sólo si $\operatorname{ess\, nul}(T)=\operatorname{ess\, nul}(T^*)$.

1 Bouldin, Richard Cierre de invertible operadores en un espacio de Hilbert. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 108 (1990), no. 3, 721-726.