Visualizando la correspondencia entre mapas lineales y matrices como un isomorfismo natural.

Question

Yo estaba tratando de interpretar la equivalencia entre lineal mapas finito dimensionales espacios vectoriales y las matrices en una categoría de POV. La idea es capturar el siguiente: dada una transformación lineal $T: V \rightarrow W$ y fija las bases de $\beta_1$ $\beta_2$ $V$ $W$ respectivamente, existe una matriz $A \in M_{n\times n} (K)$ s.t.

$$(T(x))_{\beta_2} =A_{\beta_1, \beta_2} .x_{\beta_1}$$

para todos los $x \in V$.

A mí me parece que esta propiedad puede ser representado por una transformación natural, pero el hecho de que (probablemente) debe codificar las bases en los objetos o de los morfismos de las categorías se me confunde en cuanto a cómo producir categorías y functors para dar lugar a mi interpretación.

Mi pregunta, resumida, es la siguiente:

Es allí una manera de hacer que la ecuación descrita para corresponder a una transformación natural entre apropiado functors?

Si la pregunta no es clara, por favor, se lo dices y voy a tratar de explicarlo más.

EDIT: Aunque he aceptado una respuesta en la que "niega" a mi pregunta, al investigar más he llegado al hecho de que este es, de hecho, implica una transformación natural. La transformación natural es el envío de la orden de la base a la base canónica de $\mathbb{K}^n$, y los functors son las señas de identidad functor y el functor se describe en la respuesta. La categoría es la categoría para la cual los objetos son los espacios vectoriales con un elegido ordenado.

Answer 1

Hay una categoría cuyos objetos son pares $(V, B)$ de un finito-dimensional espacio vectorial $V$, y una base $B$, y cuyos morfismos $(V, B) \to (W, C)$ son transformaciones lineales $f : V \to W$. Esta categoría es (muy canónicamente) equivalente a la "matriz de la categoría cuyos objetos son los espacios vectoriales $K^n$ y cuyos morfismos son lineales mapas de $K^n \to K^m$, con la equivalencia dada en objetos expresando $v \in V$ en términos de la base $B$ y morfismos mediante la expresión de una transformación lineal $T : V \to W$ en términos de las bases de la $B$$C$. Así que usted está buscando para un functor, no una transformación natural.

Answer 2

Aunque he aceptado una respuesta que "niega" mi pregunta, al investigar más a fondo he llegado al hecho de que esto realmente implica una transformación natural. La transformación natural es el envío de la base ordenada a la base canónica de$\mathbb{K}^n$, y los functores son el functor de identidad y el functor descrito en la respuesta. La categoría es la categoría para la cual los objetos son los espacios vectoriales con una base ordenada elegida.