Yo estaba tratando de interpretar la equivalencia entre lineal mapas finito dimensionales espacios vectoriales y las matrices en una categoría de POV. La idea es capturar el siguiente: dada una transformación lineal $T: V \rightarrow W$ y fija las bases de $\beta_1$ $\beta_2$ $V$ $W$ respectivamente, existe una matriz $A \in M_{n\times n} (K)$ s.t.
$$(T(x))_{\beta_2} =A_{\beta_1, \beta_2} .x_{\beta_1}$$
para todos los $x \in V$.
A mí me parece que esta propiedad puede ser representado por una transformación natural, pero el hecho de que (probablemente) debe codificar las bases en los objetos o de los morfismos de las categorías se me confunde en cuanto a cómo producir categorías y functors para dar lugar a mi interpretación.
Mi pregunta, resumida, es la siguiente:
Es allí una manera de hacer que la ecuación descrita para corresponder a una transformación natural entre apropiado functors?
Si la pregunta no es clara, por favor, se lo dices y voy a tratar de explicarlo más.
EDIT: Aunque he aceptado una respuesta en la que "niega" a mi pregunta, al investigar más he llegado al hecho de que este es, de hecho, implica una transformación natural. La transformación natural es el envío de la orden de la base a la base canónica de $\mathbb{K}^n$, y los functors son las señas de identidad functor y el functor se describe en la respuesta. La categoría es la categoría para la cual los objetos son los espacios vectoriales con un elegido ordenado.
