Esto es lo que quiero decir (nótese las etiquetas en el eje x):
La razón por la que estoy buscando este problema es porque siempre he sentido que algo no estaba bien con los gráficos truncados (por ejemplo, de la función exponencial, o funciones con asíntotas) donde la curva tiende a infinito en uno (o ambos) de los ejes. Creo que sería bueno tener un gráfico que pudiera contener todo el rango de una función, desde $-\infty$ a $\infty$ .
Un gráfico logarítmico en el que la escala no aumenta monótonamente, sino que es simétrica respecto al origen, se aproxima a una solución, y se puede obtener, por ejemplo, con La opción de escala "symlog" de matplotlib . Sin embargo, estos gráficos deben truncarse en algún punto. Lo ideal es que, para asignar un rango infinito a una longitud de parcela finita, se utilice un función sigmoidea es necesario.
He podido encontrar un par de ejemplos de esto en la práctica, a saber aquí y aquí (de donde tomé la imagen de arriba).
Al menos el primero de ellos utiliza la función arctangente para hacer la escala sigmoidea, pero me preguntaba si había una función sigmoidea particular que es especial de la misma manera que la función exponencial es la natural curva exponencial. No sabía exactamente cómo evaluar eso, así que miré estas opciones y eligió el que tiene el representación matemática más sencilla : $\frac{x}{|x|+1}$ .
Como la escala se aplicó a los ejes x e y, esto dio lugar a un bonito gráfico para $f(x)=x$ como era de esperar:
pero la trama de $f(x)=x^2$ no era tan parecido al original cerca de los extremos: 
y en particular la trama de $f(x)=e^x$ tenía una forma peculiar que deseaba que fuera más parecida a la original (es decir, trazada en una escala lineal):
Parece que la pendiente de la función sigmoidea que he elegido acaba superando a la de la función exponencial, por lo que en lugar de acercarse al infinito por la parte inferior (por lo que podemos ver que $y$ crece más rápido que $x$ ), se acerca por la izquierda, haciendo ver que en algún momento $x$ comienza a crecer más rápido que $y$ .
Probé las otras funciones sigmoides mencionadas en la imagen anterior, pero tenían el mismo efecto, o peor, en la forma de la exponencial. Así que mi pregunta es: ¿hay alguna forma de comprimir el rango infinito de una función en una longitud finita de un gráfico que permita preservar la forma general de la función exponencial (y esperemos que también de otras)?
Además, te agradecería que me dijeras también si existe una función sigmoidea "natural", o al menos lo que considerarías la mejor aproximación de tal cosa.
