Una pregunta sobre los campos vectoriales no conservativos

Question

En mi clase de cálculo multivariable, pasamos algún tiempo discutiendo el campo vectorial que era el gradiente de arctan(y/x). Se demostró que este campo no era conservativo en regiones cerradas que encerraban el origen. Nuestro instructor también insinuó la idea de que cualquier campo vectorial no conservativo podría describirse como la suma de un campo gradiente conservativo y un múltiplo de (-y,x)/(x^2+y^2), que es el gradiente de la función mencionada anteriormente. Esta idea me recordó al álgebra, donde, en un mapa lineal, la imagen de cualquier conjunto y la imagen de sumas de miembros del conjunto y del núcleo son idénticas. Mi pregunta ahora es, ¿existe algún tipo de relación entre estas dos nociones de núcleo en una estructura algebraica y los campos vectoriales conservativos? Además, ¿tiene sentido hablar del dimensión del operador gradiente, como una especie de mapa lineal local, en este contexto?

Answer 1

Permítanme darles más detalles. Cuando escribí mi comentario tenía prisa y esperaba que te confundieras, ya que la cohomología de De Rham utiliza algunas herramientas realmente pesadas. Aquí tienes una muestra de lo que pasa.

Tu profesor hablaba del siguiente teorema.

Todo campo vectorial liso irrotacional definido en $\mathbb R^2-\{(0,0)\}$ es la suma de un campo vectorial conservativo y un múltiplo escalar del campo vectorial $(-y,x)/(x^2+y^2)$ .

(Por "suave" quiero decir que "las derivadas de cualquier orden existen y son continuas en todas partes". "Irrotacional" significa que la curvatura es cero, lo explicaré en un segundo). ¿Cómo podemos relacionar este teorema con el álgebra? Sea $V$ denotan el espacio vectorial de funciones suaves definidas en $\mathbb R^2-\{(0,0)\}$ y que $W$ denotan el espacio vectorial de campos vectoriales sur $\mathbb R^2-\{(0,0)\}$ . (Así que los "vectores" en $V$ son funciones y los "vectores" en $W$ son campos vectoriales -- la idea es un poco rara si no estás acostumbrado. Son enorme espacios).

El operador de gradiente $\nabla$ es un mapa lineal de $V$ a $W$ . Es decir, si $f$ es una función, entonces $\nabla f$ es un campo vectorial. Del mismo modo, podemos pensar en el operador de rizo como un mapa lineal de $W$ a $V$ si ignoramos el valor vectorial final del rizo y escribimos $$\operatorname{curl}(f_1,f_2) = \frac{\partial f_2}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}.$$ Según las definiciones que he hecho, los campos vectoriales conservativos son exactamente los elementos de $W$ a imagen de $\nabla$ (después de todo, un campo vectorial conservativo es el gradiente de alguna función), y los campos vectoriales irrotacionales son exactamente los elementos de $\ker(\operatorname{curl})$ . Permítanme reformular el teorema de esta manera:

El espacio cociente $\ker(\operatorname{curl})/\operatorname{Im}(\nabla)$ tiene base $\{(-y,x)/(x^2+y^2)\}$ y, por tanto, es unidimensional.

Ahora voy a decir algo que insinúa la profundidad que se puede alcanzar profundizando en estas ideas. La razón por la que el espacio vectorial $\ker(\operatorname{curl})/\operatorname{Im}(\nabla)$ (llamado primer grupo de cohomología de de Rham) tiene dimensión uno es porque el espacio $\mathbb R^2-\{(0,0)\}$ tiene un agujero es decir, el punto que falta $(0,0)$ .