Preservación del límite por Hom: Cuestión de naturalidad.

Question

$\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$ Dejemos que $D_{i}$ sea un diagrama en una categoría $C$ con d el límite. Tenemos

(1) $\lim \Hom_{C}(X,D_{i}) \cong \Hom_{C}(X,d)$ .

Siempre que veo que se utiliza este resultado, se afirma que el isomorfismo es natural en $X$ . Nunca he visto una prueba así que quiero hacerla desde cero. Esta es mi estrategia:

Tomo $\lim : C^{I} \rightarrow C$ para ser el functor definido sobre los objetos de la manera obvia, y sobre las flechas $D \rightarrow D'$ para ser el único morfismo de d a d', que resulta de construir el cono de d a $D_{i}'$ .

Así que el LHS de (1) es $\lim \circ \Hom_{C}(-, D_{i}) : C^{op} \rightarrow Set$

Dejemos que $\lim \Hom_{C}(X, D_{i}) = S(X)$ . Entonces dejando $f : X' \rightarrow X$ me sale un cuadrado cuya flecha superior es la iso $\phi : S(X) \rightarrow \Hom_{C}(X,d))$ y cuya flecha inferior es la iso $\phi' : S(X') \rightarrow \Hom_{C}(X',d))$ . La flecha de la izquierda es el mapa único de $S(X) \rightarrow S(X')$ y la flecha de la derecha es sólo el mapa entre los dos correspondientes $\Hom_{C}$ funtores.

Pero ahora no puedo conseguir que las plazas se desplacen.

Answer 1

Supongamos que $\{D_i, \psi_i^j\}$ es su sistema, y para $i \leq j$ tienes un mapa $\psi_i^j : D_j \to D_i$ y que $\alpha_i : lim D_i \to D_i$ sean los mapas del límite (los que tienen la propiedad universal). Entonces se tiene para cada $X$ un isomorfismo:

$$ \begin{array}{cccc} \theta_X : & Hom(X, d) & \to & lim Hom(X,D_i) \\ & \varphi & \mapsto & (\alpha_i \circ \varphi)_{i} \end{array} $$

Dejemos que $f:X \to Y$ entonces tienes mapas inducidos $f^* :Hom(Y,d) \to Hom(X,d)$ y

$$ \begin{array}{cccc} \overline{f^*} : & lim Hom(Y,D_i) & \to & lim Hom(X,D_i)\\ & (\varphi_i)_i & \mapsto & (\varphi_i \circ f)_i \end{array} $$

Ahora, por cada $ \varphi \in Hom(Y,d) $ que tenemos:

$$ \begin{array}{lcl} \overline{f^*} \circ \theta_Y (\varphi) & = & \overline{f^*} \big( (\alpha_i \circ \varphi)_i \big) \\ & = & (\alpha_i \circ \varphi \circ f)_i \end{array} $$

Y por otro lado:

$$ \begin{array}{lcl} \theta_X \circ f^* (\varphi) & = & \theta_X(\varphi \circ f) \\ & = & (\alpha_i \circ \varphi \circ f)_i \end{array} $$

Y esa es la naturalidad.

Answer 2

Hay muchas maneras de probar esto, pero creo que la más fácil (en cierto sentido) es a través de incrustación de yoneda y utilizando la definición de límites para un functor $D \colon \mathbf I \to \mathbf C$ como objetos terminales en la categoría de conos sobre $D$ .

Lo tenemos para cada categoría $\mathbf C$ hay una incrustación $y \colon \mathbf C \to [\mathbf C^\text{op},\mathbf{Set}]$ dado por:

• en los objetos $y(X) = \hom_{\mathbf C}(-,X)$ es el homfuntor (contravariante);
• sobre morfismos $f \colon X \to Y$ en $\mathbf C$ tenemos $y(f) = \hom(-,f)$ que es la transformación natural que envía cada $C \in \mathbf C$ en la función $\hom(C,f) \colon \hom(C,X) \to \hom(C,Y)$ .

Este functor es una incrustación totalmente fiel, eso es una consecuencia del lema de Yoneda.

Utilizando este hecho, podemos probar su afirmación. Sea $D \colon \mathbf I \to \mathbf C$ sea una $I$ -(es decir, un functor con dominio $I$ ).

Fidelidad total del functor $y$ implica que todo diagrama de conos de la forma ${p_i}_* \colon y(d) \to y(D_i)$ se obtiene como la imagen de un cono determinado de forma única $\langle p_i \colon d \to D_i\rangle_{i \in \mathbf I}$ en $\mathbf C$ . Eso significa que el para cada familia ${p_i}_*$ como arriba hay un cono $\langle p_i \colon d \to D_i\rangle_{i \in \mathbf I}$ tal que $y(p_i)={p_i}_*$ por cada $i \in \mathbf I$ .

De la misma manera es fácil ver que dado $\langle {p_i}_* \colon y(d) \to y(D_i)\rangle$ y $\langle {q_i}_* \colon y(d') \to y(D_i)\rangle_{i \in \mathbf I}$ dos conos, inducido por los conos $\langle p_i \colon d \to D_i\rangle_{i \in \mathbf I}$ y $\langle q_i \colon d' \to D_i\rangle_{i \in \mathbf I}$ respectivamente y dado un $f_* \colon y(d) \to y(d')$ tal que ${q_i}_* = {p_i}_* \circ f_*$ entonces hay una necesariamente única $f \colon d \to d'$ en $\mathbf C$ tal que $y(f)=f_*$ y $q_i=p_i \circ f$ por cada $i \in \mathbf I$ .

Esto implica que las categorías de conos sobre el diagrama $D \colon \mathbf I \to \mathbf C$ y la de los conos sobre el diagrama $y \circ D \colon \mathbf I \to \mathbf {Set}$ son isomorfos a través del functor inducido por $y$ que envía cada cono $\langle p_i \colon d \to D_i\rangle_{i \in \mathbf I}$ en el cono $\langle y(p_i) \colon y(d) \to y(D_i)\rangle_{i \in \mathbf I}$ .

En particular, esto implica que $\langle\pi_i \colon d \to D_i\rangle_{i \in \mathbb I}$ es un objeto terminal en la categoría de conos sobre $D$ si $$y(\pi_i)\colon y(d) \to y(D_i)$$ es decir $$\hom_{\mathbf C}(-,\pi_i) \colon \hom_{\mathbf C}(-,d) \to \hom_{\mathbf C}(-,D_i)$$

es un objeto terminal en la categoría de conos sobre el diagrama $y \circ D$ : que significa que el primer cono es un cono límite si el segundo es un cono límite.

Espero que esto ayude.