Es una función de $f$ satisfacción $f(x+1) = f(x) + 1$ $f(x^2) = (f(x))^2$ o impar?

Question

La declaración del problema, todas las variables y dado/datos conocidos

1) $f(x+1)=f(x)+1$
2) $f(x^2) =(f(x))^2$

Vamos a una función de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfacer las declaraciones anteriores. A continuación, comprobar si la función es par o impar.

El intento de solución:

el uso de 2), llegamos a la
a) $f(0) = 0,1$ y
b) $f(1) = 0,1$
poner a $x = 0$ en la 1ª ecuación obtenemos $f(0) = 0$$f(1) = 1$. A partir de esto podemos probar $f(-1) = -1$ y para los números enteros obtenemos $f(-x) = -f(x)$. Pero, ¿cómo probar que para todo real $x$?

Answer 1

La proposición. $f(x)=x$ todos los $x\in\mathbb R$.

Prueba. Vamos $g(x)=x-f(x)$, $Y=\{g(x)\mid x\in\mathbb R\}$ y $s=\sup Y\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$. Si $0\le x <1$, podemos encontrar desde $(2)$ que $f(x)=f(\sqrt x^2)=f(\sqrt x)^2\ge 0$ y, por tanto,$g(x)<1$. Por $(1)$, $g$ es periódica con período de $1$, de modo que tenemos $g(x)<1$ todos los $x\in\mathbb R$ y, por tanto, $s\le 1$ (especialmente, $s$ es finito). Como un intermezzo, nos muestran un poco de

Lema. Si $y\in Y$$a\in\mathbb R$, entonces no existe $x\in[a,a+1)$ tal que $(2x-y)y\in Y$.

Prueba: Desde $g$ es periódica con período de $1$, existe alguna $x\in[a,a+1)$$g(x)=y$. Nosotros calcular $(2x-y)y=(x+f(x))(x-f(x))=x^2-f(x)^2=x^2-f(x^2)=g(x^2)\in Y$. $_\square$

De vuelta a la prueba de la proposición. Suponga $Y\ne \{0\}$. Deje $y\in Y\setminus\{0\}$. Si $y>0$ inmediatamente después,$s\ge y>0$. Si $y<0$, vamos a $a=\frac y2-1$ en el lema y obtener un $2x-y<0$, por lo tanto de nuevo $s\ge (2x-y)y>0$. Por lo tanto, tenemos $0<s\le 1$. Seleccione $y\in Y$ $y>\frac s2>0$ y deje $a=1+\frac y2$ en el lema, obtenemos $2x-y\ge 2$, es decir, la contradicción $s\ge (2x-y)y\ge2y>s$. Llegamos a la conclusión de que $Y=\{0\}$, es decir, de la proposición. $_\square$

Answer 2

Sugerencia:a partir de la segunda condición $$\begin{cases} f((-x)^2)=f(x^2)=(f(-x))^2 \\ f(x^2)=(f(x))^2 \\ \end{casos}\color{red}{\Rightarrow } 0=f(x^2)-f(x^2)=(f(x))^2-(f(-x))^2\color{red}{\Rightarrow }$$ $$(f(-x))^2=(f(x))^2\to f(x)=\pm f(-x)$$ $$\color{red}{\Rightarrow }\begin{cases} f(x)=f(-x) \color{green}{(1)}\\ f(x)=-f(-x) \color{green }{(2)}\\ \end{casos}$$ if we let $\color{color verde}{(1)}$ be true but there are counter example like $f(x)=x^2$ such that don't satisfy in $f(x+1)=f(x)+1$

y si dejamos $\color{green}{(2)}$ ser cierto, pero no es extraño función como $f(x)=x^3$ tal que no satisfacen en $f(x+1)=f(x)+1$