Qué $\mathrm{Mat}_{m \times n}$ tiene límite?

Question

Para mí, $\mathrm{Mat}_{m \times n}$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{mn}$, por lo tanto es sin fronteras. Pero esta descalificado, el uso de Adrs del teorema en esta pregunta: Un ejercicio Regular Teorema del Valor. Pero parece que el uso del teorema de Sard está en el camino correcto.

Gracias~

Answer 1

$\mathrm{Mat}_{m \times n}$ hay límite para exactamente la razón por la que declaró: es diffeomorphic a $\Bbb R^{mn}$.

Con respecto a tu otra pregunta, usted todavía puede solicitar la Transversalidad Teorema en la página 68 de Guillemin y Pollack. Esto es debido a que el colector $M$ en el sentido usual de la palabra es también un manifold con frontera; sólo se ha vacío límite: $\partial M = \varnothing$. Basta con mirar en la definición de manifold con frontera y verás que no hay ningún requisito de que el colector de la realidad tiene puntos de límite, sino que la definición simplemente dice que cada punto es un punto interior o frontera de punto.

Answer 2

Sí: por debajo de su nivel habitual de topología, $\mathrm{Mat}_{m\times n}$ es un colector sin límite (un.k.un., un colector).