Supongamos $x\in\Bbb R$ es tal que
$$\sin x=\sum_{i=1}^m x_i\sqrt{r_i},\quad \cos x=\sum_{j=1}^n y_j\sqrt{s_j}$$
para algunos $x_i, r_i, y_j, s_j \in\Bbb Q \ , \ |x_i|=|y_j|=1$. Mostrar que $x=\dfrac{k\pi}{12}$ algunos $k\in\Bbb Z$.
Respuesta
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Bosquejo de una prueba. Deje $z= \cos x + i\sin x = e^{ix}$ donde $x$ es como en el enunciado del problema. Tenga en cuenta que $z$ es un número algebraico: $$z = \sum_{j=1}^n y_j\sqrt{s_j} + i \sum_{i=1}^m x_i\sqrt{r_i}.$$
Considere la posibilidad de $F={\mathbb Q}[z]$, la división de campo de la $z$. Considere la posibilidad de que el grupo de Galois de $F$ más de $\mathbb Q$, $G = \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q}).$ Podemos demostrar que $G=\mathbb{Z}_2^M$ algunos $M$. De hecho, vamos a $p_1,\dots, p_t$ todos los factores primos de los números de $r_i$$s_j$. Deje $E=\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{p_1},\dots, \sqrt{p_t})$. Desde $z = \sum_{j=1}^n y_j\sqrt{s_j} + i \sum_{i=1}^m x_i\sqrt{r_i}$, cada uno de nosotros ha $\sqrt{s_j} \in E$$\sqrt{r_i}\in E$, y por lo tanto $z\in E$.
Por lo tanto, $\mathbb{Q}\subset F\subset E$. El grupo de Galois de $E/\mathbb{Q}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2^{t+1}$. Ahora, por el teorema fundamental de la teoría de Galois, $G$ es un cociente de un grupo de $\mathbb{Z}_2^{t+1}$. Por lo tanto $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2^M$ algunos $M$.
Cada una de las $\mathbb Q[\sqrt{s_j}]$ y cada una de las $\mathbb Q[\sqrt{r_i}]$ es un subcampo de un cyclotomic campo (ver las raíces Cuadradas de los números enteros y cyclotomic Campos). Por lo tanto $E$ es un subcampo de un cyclotomic campo $\mathbb{Q}[\xi]$. (Como alternativa, debido a $G$ es Abelian, por Kronecker–Weber teorema, $F$ es un subcampo de un cyclotomic de campo).
Cada número complejo de la unidad de la norma en $\mathbb{Q}[\xi]$ es una potencia de $\xi$ (ver Elementos de valor absoluto uno en cyclotomic campos). Por lo tanto, $z = \xi^u$ algunos $u$ e lo $x = (p / q) \cdot 2\pi$, para algunos coprime números enteros $p$$q$.
Tenemos que $G$ es isomorfo al grupo ${\mathbb Z}_q^*$ (el grupo multiplicativo de los números enteros modulo $q$). Es isomorfo a $\mathbb{Z}_2^M$ si $q$ divide $24$ (por cada $q$, $G$ es un producto directo de grupos cíclicos, que puede ser descrito explícitamente en términos de $q$; todos ellos son isomorfos a ${\mathbb Z}_2$ si y sólo si $q$ divide 24; véase Wikipedia para más detalles). Tenemos, $$x = \frac{(p\cdot (24/q))\pi}{12}.$$
