Cuando era estudiante, me enseñaron que el teorema de la curva de Jordan es un gran ejemplo de una afirmación intuitivamente clara que no tiene una demostración sencilla.
¿Cuál es la prueba más sencilla que se conoce hoy en día?
¿Hay alguna razón intuitiva por la que no sea posible una prueba muy sencilla?
Hay una prueba corta (menos de tres páginas) que utiliza el teorema del punto fijo de Brouwer, disponible aquí:
El teorema de la curva de Jordan mediante el teorema del punto fijo de Brouwer
El objetivo de la prueba es tomar la prueba "intuitiva" de Moise y hacerla más simple/corta. Sin embargo, no estoy seguro de que lo consideres "bonito".
Hay una demostración del Teorema de la Curva de Jordan en mi libro "Topología y groupoides" que también deriva resultados sobre la Propiedad de Phragmen-Brouwer. También se ha publicado como
`Groupoides, la propiedad de Phragmen-Brouwer y el teorema de la curva de Jordan', J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183.
El Teorema de van Kampen para el grupoide fundamental en un conjunto de puntos base se utiliza para demostrar que si $X$ está conectada por un camino y la unión de conjuntos conectados por un camino abierto $U,V$ cuya intersección tiene $n$ componentes del camino, entonces el grupo fundamental de $X$ contiene el grupo libre en $n-1$ generadores como un repliegue.
30 de mayo: La pregunta es por qué no hay una prueba sencilla. Tal vez la siguiente figura 9.10 del libro mencionado explique por qué no se espera que una prueba sea tan fácil; ¿cómo se decide si un punto en el centro está dentro o fuera?
Aquí hay varias pruebas:
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/index.htm
Entre ellos, podría (y debería) mencionarse el de Tverberg (1980).
Pero, después de leer (y leer)
http://www.math.sunysb.edu/~bishop/classes/math401.F09/HalesDefense.pdf ,
Me gusta mucho la prueba de Jordan en sí.
La prueba de Carsten Thomassen es relativamente sencilla:
Carsten Thomassen, El teorema de Jordan-Schönflies y la clasificación de superficies . Amer. Math. Monthly 99 (1992), nº 2, 116-130.
Por cierto, el teorema de la curva de Jordan tiene una demostración formal (que puede ser comprobada por un ordenador): Thomas C. Hales, El teorema de la curva de Jordan, formal e informalmente . Amer. Math. Monthly 114 (2007), nº 10, 882-894.
Hales basa la prueba formal en la de Thomassen.
A continuación se presenta un estudio sobre los documentos más antiguos sobre el tema:
H. Guggenheimer, El teorema de la curva de Jordan y un manuscrito inédito de Max Dehn . Archivo de Historia de las Ciencias Exactas 17 (1977), 193-200.
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