Negación de la definición de límite

Question

Una secuencia $(x_n)$ de los números reales convergen en un número real $x$ si

Para todos $\epsilon > 0$ existe un número natural $n_0$ de tal manera que para todos $n \ge n _0$ , $|x_n - x| < \epsilon$ .

¿Cómo negar esta declaración? No importa lo que intente, mi nueva declaración no tiene sentido. Estoy tratando de negarla usando la lógica proposicional (así que la negación de un cuantificador universal es un cuantificador existencial, etc.) pero me estoy perdiendo. Por favor, ELI5

¡Gracias!

Answer 1

En lenguaje corriente:

Para cualquier número real $x$ hay términos $x_n$ en la secuencia con un rango arbitrariamente alto que permanecerá (al menos) a una distancia mínima de $x$ .

Formalmente, ya que realmente hay una implicación en la definición de convergencia: $$\exists x\,\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n,\enspace\bigl((n\ge n_0 )\implies(\lvert x_n-x\rvert < \varepsilon)\bigr)$$ obtenemos $$\forall x\,\exists\varepsilon\,\forall n_0\,\exists n,\enspace\bigl((n\ge n_0 )\wedge(\lvert x_n-x\rvert \ge \varepsilon)\bigr)$$

Si $x$ es un número determinado, se hace algo más sencillo:

Hay términos $x_n$ en la secuencia con un rango arbitrariamente alto que permanecerá al menos a una distancia mínima de $x$ .

Formalmente: $$\exists\varepsilon\,\forall n_0\,\exists n,\enspace\bigl((n\ge n_0 )\wedge(\lvert x_n-x\rvert \ge \varepsilon)\bigr)$$

Answer 2

Puede escribir la definición de $(x_n) \to x$ como $$\forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \ge n_0 \ |x_n-x| < \varepsilon$$ Cuando se niega una afirmación de este tipo, los cuantificadores de carga frontal se invierten (por lo que el $\forall \exists \forall$ se convierte en $\exists \forall \exists$ y la proposición cuantificada se niega (por lo que la $|x_n-x|<\varepsilon$ se convierte en $|x_n-x| \ge \varepsilon$ ).

A ver si ahora puedes negar la afirmación por ti mismo (y, mejor aún, reescribirla en lenguaje sencillo).

Answer 3

$\forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N}$ $\forall n$ , si $n \ge n_0$ entonces $\ |x_n-x| < \varepsilon$ .

Dejemos que $p: n\ge n_0$

y $q:\ |x_n-x| < \varepsilon$ .

Entonces, $\forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N}$$\forall n$, $p \implies q$.

Tenga en cuenta que $\lnot(p\implies q)=\lnot(\lnot p\lor q)=p\wedge\lnot q$ y $\lnot\varepsilon=\forall$ etc.

Negación : $\exists \varepsilon > 0 \ \forall n_0 \in \mathbb{N}$$\exists n$, $p \wedge\lnot q$ OR $\exists \varepsilon > 0 \ \forall n_0 \in \mathbb {N} \exists n$, ($n \ge n_0$)$\wedge (|x_n-x| \ge\epsilon$).

Answer 4

La integridad de ${\mathbb R}$ permite formular esta negación de forma que se evite el engorroso "para todos $x$ no tenemos convergencia a $x\,$ ". Basta con formular que la secuencia en cuestión viola la condición de Cauchy, como sigue:

Hay un $\epsilon_0>0$ tal que para cualquier $n_0$ podemos encontrar $m$ , $n>n_0$ con $|x_m-x_n|\geq\epsilon_0$ .

Answer 5

Una secuencia $(x_n)$ de los números reales hace no convergen a un número real $x$ si

$\exists \epsilon \in \mathbb{R}: [\epsilon > 0 \land \forall n_0 \in \mathbb{N}: \exists n\in \mathbb{N}:[n \ge n_0 \land |x_n-x|\ge\epsilon]]$