Producto Tensor $Z[1/2]\otimes Z/3$

Question

Calcular $\mathbb{Z}[1/2]\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/3$

Mi primer instinto fue que es igual a $\mathbb{Z}/3[1/2]$, pero que no podía mostrar que esto es correcto por el universal propert. Por lo tanto, creo que mi instinto engañado a mí. Sin embargo, me gustaría saber ¿cuál es la forma correcta de pensar acerca de ella, sin necesidad de conjeturas.

Gracias!

Answer 1

Su conjetura es correcta, con la excepción de $2$ es la unidad de modulo $3$, por lo que el $\;\mathbf Z[1/2]\otimes\mathbf Z/3\mathbf Z\simeq \mathbf Z/3\mathbf Z$.

A ver en un riguroso manera, tenga en cuenta que $$\mathbf Z[1/2]\otimes\mathbf Z/3\mathbf Z\simeq\mathbf Z[X]/(2X-1)\otimes\mathbf Z/3\mathbf \simeq\mathbf Z/3\mathbf Z[X]/(-X-1)\simeq\mathbf Z/3\mathbf Z.$$

Answer 2

Desde $2 \cdot 2 = 1 \mod \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ obtenemos $$\frac{n}{2^k} \otimes x = \frac{1}{2^{k'}} \otimes nx$$ con $k' = 0,1$. Si $k' = 1$ obtenemos $$\frac{n}{2^k} \otimes x = 1 \otimes 2nx$$ y por otra parte tenemos a $$\frac{n}{2^k} \otimes x = 1 \otimes nx.$$ Así, cada elemento es de la forma $1 \otimes x$. Por lo tanto,$\mathbb{Z}[1/2] \otimes \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$.

Edit: Acabo de mencionar una cosa: Si $M$ $R$- Módulo de e $S \subseteq R$ un subconjunto multiplicativo, entonces $M \otimes S^{-1}R \simeq S^{-1}M$ donde $S^{-1}$ indica la localización. En este caso,$\mathbb{Z}[1/2] = S^{-1}\mathbb{Z}$$S := \{2^k \mid k \in \mathbb{Z}\}$. Este rendimientos $$\mathbb{Z}[1/2] \otimes \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq S^{-1}\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq S^{-1}\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$

Answer 3

Usted desea utilizar algunos hechos. En primer lugar, tenga en cuenta que $\mathbb Z[2^{-1}] = \mathbb Z[X]/(2X-1)$. En segundo lugar, para cualquier polinomio anillo de $A[X]$ y cualquier morfismos $A\longrightarrow B$ de los anillos que hace que $B$ a una $A$-módulo, de ello se sigue que $B\otimes_A A[X] = B[X]$. Tercero, cocientes y tensor de productos de viaje. Así

$$\mathbb Z/3\otimes \mathbb Z[2^{-1}] = (\mathbb Z/3\otimes \mathbb Z[X])/(2X-1)$$

Ahora tenga en cuenta que junto a una inversa de a $2$ $\mathbb Z/3$es sin efecto, a partir de $2$ es invertible en a $\mathbb Z/3$. De modo que el producto tensor es $\mathbb Z/3$.