Posibles Duplicados:
Demostrar $\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k\pmod p$La pregunta es la siguiente:
Deje $p$ ser primer. Mostrar que ${p \choose k}\bmod{p}=0$$0 \lt k \lt p,\space k\in\mathbb{N}$. ¿Qué implica esto acerca de los coeficientes binomiales ${p-1 \choose k}$?
Por la definición de los coeficientes binomiales:
$${p \choose k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}$$
Ahora si $0 \lt k \lt p$, luego tenemos a $p\mid{p\choose k}$, por lo ${p \choose k}\equiv0\pmod{p}, \space 0 \lt k \lt p. \space \blacksquare$
Tenga en cuenta que podemos escribir: ${p \choose k}={p-1 \choose k}+{p-1 \choose k-1}$, y por lo tanto:
$${p-1 \choose k}={p \choose k}-{p-1 \choose k-1}=\frac{p!}{k!(p-k)!}-\frac{(p-1)!}{(k-1)!(p-k)!}=\frac{(p-1)!}{(k-1)!(p-k)!}\left(\frac{p}{k}-1\right)$$
Sin embargo, estoy seguro de cómo proceder con esta pregunta, el libro en el que estoy trabajando desde los estados que:
$${p-1 \choose k}\equiv(-1)^{k}\pmod{p}, \space 0 \le k \lt p$$
Pero estoy seguro de cómo los autores han derivado de esta congruencia, por lo que agradecería cualquier pista.
Gracias de antemano.
- Demostrar $\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k\pmod p$ (3 respuestas )
Respuestas
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Resulta que no tenemos ni siquiera necesita del Teorema de Wilson. Nota: la identidad $$\binom{p-1}{k+1}(k+1)=\binom{p-1}{k}(p-k-1).$$ Esto es fácil de obtener a partir del hecho de que $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$. Ahora tenga en cuenta que $p-k-1\equiv -(k+1)\pmod p$. Así $$\binom{p-1}{k+1}(k+1)\equiv -\binom{p-1}{k}(k+1)\pmod p.$$ Si $0\le k \lt p-1$, $k+1$ no es divisible por $p$, por lo que podemos cancelar y obtener $$\binom{p-1}{k+1}\equiv -\binom{p-1}{k}\pmod p.\tag{$1$}$$ Por lo tanto $\binom{p-1}{k}$ cambia de signo modulo $p$ cada vez que incrementamos $k$. Pero $\binom{p-1}{0}=1$, y el resultado de la siguiente manera.
Recuerde Wilson del Teorema para un primer $\,p\,$: $$(p-1)!=-1\pmod p$$and from what you already proved we get $$\binom {p-1}{k}=\binom{p}{k}-\binom{p-1}{k-1}=\binom{p-1}{k-1}\pmod p$$Now just observe $$\frac{(p-1)!}{(p-k)!}=(p-k+1)(p-k+2)\cdot ...\cdot (p-1)=(1-k)(2-k)\cdot ...\cdot (-1)\Longrightarrow$$$$\Longrightarrow\binom{p-1}{k-1}=\frac{(1-k)(2-k)\cdot ...\cdot (-1)}{1\cdot 2\cdot ...\cdot (k-1)}=(-1)^k\pmod p $$
