Definir una relación $$ on $ R $ by $ x y $ if and only if $ x + y \in \mathbb Q$. ¿Es una relación de equivalencia?

Question

Definir una relación $$ on $ R $ by $ x y $ if and only if $ x + y \in \mathbb Q$. ¿Es una relación de equivalencia?

Para que una relación sea de equivalencia, debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. Y nótese que un número racional $\in \mathbb Q$ es $\in a/b$ donde $a,b \in\mathbb Z$ (números enteros).

a) Reflexivo: necesitamos mostrar $x\sim x$ para todos los valores de $ x \in\mathbb R$ . Pero dejemos $x = \sqrt 3$ . $\sqrt 3 + \sqrt 3 = 2 \sqrt 3$ que no es un número racional, Por lo tanto $\sim$ no es reflexivo.

b) Simétrico: hay que demostrar si $x\sim y$ entonces $y\sim x$ . Esto es así porque $x+y=y+x $ así que $y+x \in\mathbb Q$ y $x+y\in\mathbb Q$ . Así que $\sim$ es simétrica.

c) Transitiva: hay que demostrar que si $x\sim y$ y $y\sim z$ entonces $x\sim z$ . $x\sim z = (x+y) + (y+z) \in\mathbb Q$ Así que $x+z \in\mathbb Q$ porque un número racional más un número racional es un número racional. Así que $\sim$ es transitivo.

Por último, la relación $\sim$ no es una relación de equivalencia porque no es reflexiva.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tienes razón en a y b pero no en c. Toma $x=\sqrt{2}$ , $y =-\sqrt{2}$ , $z =\sqrt{2}$ . Entonces $x \sim y$ , $y\sim z$ pero $x+z = 2\sqrt{2}$ es irracional.

Answer 2

Para la transitividad, elija $x=1-\sqrt{3}$ , $y=\sqrt{3}$ y $z=2-\sqrt{3}$ entonces $x+y \text{ and } y+z \in \mathbb{Q}$ pero $x+z=3-2\sqrt{3} \not\in \mathbb{Q}$ . Así que NO es transitivo.

Answer 3

La relación es no transitivo. Tenga en cuenta que $\sqrt2\sim-\sqrt2$ y $-\sqrt2\sim\sqrt2$ pero $\sqrt2\not\sim\sqrt2$ .

Por otro lado, para demostrar que no es una relación de equivalencia, basta con demostrar que no es reflexiva. El resto fue una pérdida de tiempo.

Answer 4

Esta es una explicación de por qué tu prueba de transitividad es errónea; y se relaciona con que la relación no es reflexiva.

Usted dijo que " $(x+y)+(y+z) \in \mathbb{Q}$ Así que $x+z \in \mathbb{Q}$ ". Esto sería cierto si $y+y$ estaban en $\mathbb {Q}$ . Sin embargo, si $y+y$ es irracional (como has demostrado que puede ser) entonces $x+z$ debe ser irracional también en forder para $x+y+y+z$ para estar en $\mathbb{Q}$ .