Obligado por el grado

Question

Deje $K$ ser un perfecto campo y deje $f\in K[x]$ ser un monic polinomio irreducible de grado $n$. Denotar por $\alpha,\beta$ dos distintas raíces de $f$. Es la siguiente enlazado verdad? $$ [K(\alpha\beta):K]\geq \frac n2 $$ Si no, ¿alguien sabe que una similar obligado (si es que existe)?

Answer 1

Este enlazado no se sostiene. Considerar la Artin-Schreier polinomio, $$f(X)=X^p-X+1\in\mathbb{F}_p[X]$$

Tenga en cuenta que $f(\alpha)=0\implies f(\alpha+1)=0$. Tome $\beta=\alpha+1$ para obtener una contradicción a la propuesta de obligado.