¿Cómo demuestro que el conjunto de números naturales Impares es cerrado bajo la operación * definida por a*b=a+b+ab?

Question

Realmente necesito ayuda con esta pregunta. Tengo que demostrar que el conjunto de números naturales Impares es cerrado bajo la operación * definida por a*b=a+b+ab, y no estoy muy seguro de cómo. Cualquier trabajo/ayuda se agradece mucho.

Answer 1

Demostrar que a+b+ab es impar siempre que a y b sean impar

Answer 2

Dejemos que $a = 2n + 1$ y que $b = 2m + 1$ donde $n, m \geq 0$ .

Queremos demostrar que el conjunto de números naturales Impares es cerrado bajo la operación definida $*$ .

Así que: $$a*b = a + b + ab$$ $$= (2n + 1) + (2m + 1) + (2n + 1)(2m + 1)$$ $$= (2n + 2m + 2) + (4nm + 2n + 2m + 1)$$ $$= (4n + 4m + 4mn + 2) + 1$$

Así, $*$ está cerrado bajo la operación definida.

Answer 3

Podría utilizar el hecho de que $$a*b=(a+1)(b+1)-1$$ Tenemos que $$(2a+1)*(2b+1)=(2a+2)(2b+2)-1$$ ¿Ves por qué ese número debe ser impar?

Answer 4

Si quieres verlo inmediatamente, si $a$ y $b$ son impar, $a + b$ es par y $a\cdot b$ es impar; e impar más par es impar.

Answer 5

$ \newcommand{odd}[1]{#1\text{ is odd}} \newcommand{even}[1]{#1\text{ is even}} $ Sólo para divertirnos, aquí tenemos una versión ligeramente diferente (un " lógico ") en comparación con las respuestas existentes.

"El conjunto de números naturales Impares es cerrado bajo $\;*\;$ " significa que si cualquier $\;a\;$ y $\;b\;$ son números naturales Impares, entonces también $\;a * b\;$ es un número natural impar.

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Por eso nos preguntamos: ¿cuándo es $\;a * b\;$ un impar natural ¿número? En primer lugar, a partir de la definición de $\;*\;$ está claro que si $\;a,b\;$ son números naturales, entonces $\;a * b\;$ también es un natural número.

Entonces, ¿qué pasa con el rareza de $\;a * b\;$ ? Calculemos:

\begin{align} & \odd{a * b} \\ \equiv & \qquad \text{"definition of $\;*\;$"} \\ & \odd{a + b + a \times b} \\ \equiv & \qquad \text{"sum is odd if exactly one is odd"} \\ & \odd{a + b} \;\not\equiv\; \odd{a \times b} \\ \equiv & \qquad \text{"sum is odd if exactly one is odd; product is odd if both are odd"} \\ & \odd{a} \;\not\equiv\; \odd{b} \;\not\equiv\; \odd{a} \;\land\; \odd{b} \\ \equiv & \qquad \text{"logic: simplify by removing double negation"} \\ & \odd{a} \;\equiv\; \odd{b} \;\equiv\; \odd{a} \;\land\; \odd{b} \\ \equiv & \qquad \text{"logic: golden rule"} \\ & \odd{a} \;\lor\; \odd{b} \\ \end{align} Así que $\;a * b\;$ es impar si $\;a\;$ o $\;b\;$ es impar, así que ciertamente si ambos son impar.

Esto completa la prueba.

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Obsérvese cómo ambos $\;\not\equiv\;$ y $\;\equiv\;$ son asociativos, por lo que podemos omitir los paréntesis en la prueba anterior. La regla de oro mencionada anteriormente es $$ P \;\equiv\; Q \;\equiv\; P \land Q \;\equiv\; P \lor Q $$ para cualquier expresión booleana $\;P,Q\;$ .