Son el centro de las fuerzas conservadoras? Wikipedia debe ser malo

Question

Podría ser sólo una simple definición del problema, pero he aprendido en la clase que una fuerza central no necesariamente tienen que ser conservador y la Wikipedia en alemán dice lo mismo. Sin embargo, el inglés de Wikipedia estados diferentes en sus artículos, por ejemplo:

Una fuerza central es conservativa del campo, que es, siempre puede ser se expresa como el negativo del gradiente de un potencial

Ellos usan el argumento de que cada central de la fuerza puede expresarse como el gradiente de un (radial simétrica) potencial. Y puesto que las fuerzas que se gradiente de campos son, por definición, las fuerzas conservadoras, la central de las fuerzas debe ser conservador. Como tengo entendido, una fuerza central puede tener un (radial simétrica) potencial, pero esto no es necesariamente siempre el caso.

Answer 1

Depende de lo que entendemos por "fuerza central'.

Si su fuerza central es de la forma ${\vec F} = f(r){\hat r}$ (los puntos de fuerza radialmente hacia adentro/hacia afuera y su magnitud depende sólo de la distancia desde el centro), entonces es fácil mostrar que $\phi = - \int dr f(r)$ es un campo potencial para la fuerza y genera la fuerza. Esto es generalmente lo que veo la gente quiere decir cuando dicen "fuerza central."

Si, sin embargo, usted acaba de decir que la fuerza que apunta radialmente hacia el interior y hacia el exterior, pero puede depender de las otras coordenadas, entonces usted tiene ${\vec F} = f(r,\theta,\phi){\hat r}$, y vas a tener problemas en encontrar el potencial, porque se necesita una $f = - \frac{\partial V}{\partial r}$, pero usted también necesita $\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$ a matar a los no-radial componentes, y esto va a conducir a contradicciones.

Es lógico que un campo de este formulario es gong para ser nonconservative, porque si la fuerza es mayor en $\theta = 0$ que $\theta = \pi/2$, entonces usted puede hacer el trabajo neto alrededor de una curva cerrada moviendo hacia el exterior de $r_{1}$ $r_{2}$ $\theta = 0$(trabajo positivo), a continuación, permanecer en $r_{2}$ constante, pasando de $\theta =0 $ $\theta = \pi/2$(cero trabajo-fuerza radial), volviendo de a $r_{1}$ (menos trabajo que el primer paso), y volviendo a $\theta = 0$ (cero trabajo).

Answer 2

Tomar curl esféricas en coordenadas polares de un punto central ,verás que ya no hay ningún componente de la fuerza en el $\theta$ $\phi$ dirección de e $f(r)$ no dependen $\theta$$\phi$ , por lo curl de central de la fuerza es cero. Por lo tanto fuerzas centrales puede ser representado como el gradiente de algunos escalares,es decir, el centro de las fuerzas conservadoras.