Por favor, perdóneme si esto es elemental, pero he buscado mucho una respuesta a esto y estoy muy sorprendido de que todavía no he encontrado una buena. Mi pregunta es sencilla: ¿bajo qué condiciones $$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x)$$ implican que $$f_n(x) = g_n(x)$$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es difícil encontrar condiciones razonables para tal implicación. T $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ que converge, entonces cambiando el orden de la suma, o haciendo pequeños o grandes cambios en $f_1$ sólo para absorberlos en otros $f_k(x)$ da demasiada libertad para encontrar infinitas posibilidades de funciones $g_k(x)$ que sumarán el mismo valor.
Sin embargo, si se imponen algunas restricciones estrictas a las funciones, es posible que se produzcan algunas implicaciones (no demasiado interesantes). Por ejemplo, si todas las funciones alcanzan valores no negativos, y además las desigualdades $f_k(x)\le g_k(x)$ para todos $x$ en el dominio relevante, entonces la igualdad de las series implicará la igualdad de las funciones (en el dominio relevante).
Pero de verdad, esto no tiene remedio. Es como pedir condiciones que aseguren que dos series de números reales son iguales. Simplemente, hay demasiadas posibilidades. Incluso con sumas de sólo dos números reales, ¿qué condiciones hay en $a,b,c,d$ que garantizan que si $a+b=c+d$ entonces $a=c$ y $b=d$ ???
