Un límite en una transformación de Möbius

Question

Supongamos que $z,w \in \mathbb{C}$ s.t. $|z|,|w| < 1$ . ¿Cómo demostrarías que $\frac{|z-w|}{|1-\bar{w}z|} \leq |z| + |w|$ ?

He calculado que

\begin {align*} & \frac {|z-w|}{|1- \bar {w}z|} \leq |z| + |w| \\ & \Rightarrow \frac {|z|^2-2Re( \bar {w}z)-|w|^2}{1-2Re( \bar {w}z) + |w|^2|z|^2} \leq (|z|+|w|)^2 \\ & \Rightarrow -2Re( \bar {w}z) \leq 2|z||w| + (|w|^2|z|^2 - 2 Re( \bar {w}z))(|z| +|w|)^2 \end {align*}

Si $2Re(\bar{w}z) < 0$ entonces $2|z||w| \geq 2Re(\bar{w}z)$ y $(|w|^2|z|^2 - 2 Re(\bar{w}z)) \geq 0$ implican que la desigualdad es verdadera.

No he podido averiguar qué ocurre en el caso de que $2Re(\bar{w}z) >0$ sin embargo.

Por otro lado, siempre que me encuentro con este tipo de problemas, intento multiplicar todo y ver si consigo que se cancelen suficientes términos para que la desigualdad sea evidente.

Sin embargo, no estoy muy seguro de si esa es la forma más inteligente de hacer las cosas y si hay alguna intuición que debería utilizar y que desconozco.

Answer 1

Una pista: piensa en términos de distancia hiperbólica. Si $d(z,w)$ es la distancia hiperbólica entre $z$ y $w\in D$ entonces $|z-w|/|1-\bar w z|= \tanh d(z,w)$ y en particular $|z|=\tanh d(0,z)$ .

Otra pista: puede suponer $w=\rho>0$ y $z=r e^{i\alpha}$ . Ahora calcule $|z-w|^2$ y $|z-{1\over \bar w}|^2$ mediante el teorema del coseno y demostrar que el cociente de los dos es mayor cuando $t:=\cos\alpha=-1$ .

Answer 2

Como mencionó Christian Blatter, esto tiene una interpretación geométrica en términos de métrica hiperbólica, pero también se puede hacer directamente: Primero hay que tener en cuenta que $${|z - w|^2 \over |1 - \bar{w}z|^2} = {|z|^2 - 2Re(\bar{w}z) + |w|^2 \over 1 - 2Re(\bar{w}z) + |w|^2|z|^2}$$ (Ha cometido un pequeño error de cálculo). A continuación, observe que $|z|^2 + |w|^2 \leq 1 + |w|^2|z|^2$ ya que esto equivale a $(1 - |w|^2)(1 - |z|^2) \geq 0$ . Así, la expresión anterior es de la forma ${\displaystyle {A + c \over B + c}}$ , donde $0 \leq A \leq B$ y ambos $A + c$ y $B + c$ son no negativos. Dicha expresión aumenta a medida que $c$ aumenta. Dado que $- 2Re(\bar{w}z)$ es como máximo $2|w||z|$ Así pues, tenemos $$ {|z|^2 - 2Re(\bar{w}z) + |w|^2 \over 1 - 2Re(\bar{w}z) + |w|^2|z|^2} \leq {|z|^2 + 2|w||z| + |w|^2 \over 1 + 2|w||z| + |w|^2|z|^2}$$ $$ = {(|z| + |w|)^2 \over (|w||z| + 1)^2}$$ Demostrando que esto es como máximo $(|z| + |w|)^2$ equivale a mostrar $(|w||z| + 1)^2 \geq 1$ Lo cual es claramente cierto.