Es la siguiente verdad: "Supongamos $f\in L^1[0,1]$$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})$, $f$ es diferenciable una.e"
Respuesta
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Teorema (Bernstein). Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es de forma compacta compatible y $C^\alpha$ continuo para algunos $\alpha>1/2$,$\hat f\in L^1(\mathbb R)$.
Este teorema da una respuesta negativa a su pregunta, desde una versión adecuada de la función de Weierstrass satisface las condiciones anteriores.
La prueba es la misma que la prueba de que el resultado correspondiente para la serie de Fourier. En aras de la exhaustividad, he modificado la prueba y se incluye a continuación.
Prueba. Para $h\in\mathbb R$ escritura $f_h(t)=f(t-h)$. La transformada de Fourier de $f_h-f$ es $$(e^{-i \xi h}-1)\hat f(\xi)$$ El $L^2$ norma de $f_h-f$$O(h^\alpha)$. Por la identidad de Parseval $$\int_{\mathbb R}|e^{-i \xi h}-1|^2 |\hat f(\xi)|^2\,d\xi = O(h^{2\alpha})$$ Queremos enlazado $ |e^{-i\xi h}-1|$ de los de abajo. No hay uniforme obligado para todos los $\xi$, pero si nos centramos en algunas diádica rango de $D_k=\{\xi: 2^k\le |\xi|< 2^{k+1}\}$, entonces la elección de $h=\frac{2\pi}{3}\cdot 2^{-k}$ da buen resultado: $\frac{2\pi}{3}\le |\xi h|< \frac{4\pi}{3}$, lo que mantiene a $e^{-i\xi h}$ lejos de $1$. Por lo tanto, $$ \int_{D_k} |\widehat{f}(\xi)|^2\,d\xi = O(2^{-2\alpha k}) $$ Por el Cauchy-Schwarz desigualdad, $$ \int_{D_k} |\widehat{f}(\xi)| \,d\xi = O(2^{k/2})\, O(2^{-\alpha k})= O(2^{k(1/2-\alpha)}) $$ y la suma de $k$ converge.
