La convergencia de tercer momento en el teorema del límite central

Question

Anteriormente, he hecho una pregunta aquí sobre la tasa de convergencia de las expectativas de los valores absolutos para el valor esperado de una Gaussiana.

Si $Z_1,Z_2,Z_3,\ldots$ son yo.yo.d. con $P(Z_i=-1) = P(Z_i=+1) = \frac 12,$ entonces tenemos por el Teorema Central del Límite que $\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0,1),$ de modo que para cualquier continuo delimitado función de $f,$ hemos $\mathbb{E}f\left(\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right)\to\mathbb{E}f(W)$ donde $W\sim\mathcal{N}(0,1).$ Ahora, $|\cdot|$ no es un almacén de la función, así que no es necesariamente cierto que

$$\mathbb{E}\left|\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right|\to\mathbb{E}|W|.$$

Pero integrabilidad uniforme garantiza la convergencia $\mathbb{E}\left|\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right|\to\mathbb{E}|W|.$ ¿a qué velocidad se convergen?

Mi pregunta de hoy es: ¿tenemos integrabilidad uniforme en este ejemplo concreto para todos los momentos? En otras palabras, para lo $p$ es el verdadero?

$$\mathbb{E}\left|\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right|^p\to\mathbb{E}|W|^p.$$

Sé que la respuesta es SÍ para$p=1,2$, pero sospecho que NO es para $p=3,4,\ldots.$

Answer 1

Podemos probar que para cada entero positivo $p$, existe una constante $C_p$ tal que $\sup_n\mathbb E|S_n|^{2p}/n^p\leqslant C_p$ donde $S_n=\sum\limits_{j=1}^nZ_i$. Esto se puede hacer por inducción en $p$, dándose cuenta de que $$\mathbb E|S_n|^{2(p+1)}=\sum_{i=0}^{p+1}\binom{2p +2}{2i}\mathbb E|S_n|^{ 2i}.$$ De ello se sigue que para cada número real positivo $r$, la familia $ \left\{\left(|S_n|/\sqrt n\right)^r, n\geqslant 1 \right\}$ es uniformemente integrable.