Problema computing $\int_{-\infty}^\infty \frac{\tan^{-1}(x)}{x}dx$ usando curvas a nivel integral.

Question

Estoy tratando de solucionar $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\tan^{-1}x}{x}\ dx$$ mediante una integral de contorno.

Mi Trabajo:

Definir un contorno $C$ tal forma que:

Ahora tenemos $$\int_{C}\frac{\tan^{-1}x}{x}\ dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{\tan^{-1}x}{x}\ dx+\int_{\text{Arc}}\frac{\tan^{-1}x}{x}\ dx$$ Ahora parametizing la integral sobre el arco: $$\int_{\text{Arc}}\frac{\tan^{-1}x}{x}\ dx=\lim_{R\to \infty}\int_{0}^\pi \frac{\tan^{-1}(Re^{i\theta})}{Re^{i\theta}}iRe^{i\theta}\ d\theta=\lim_{R\to \infty} i\int_{0}^\pi \tan^{-1}(Re^{i\theta})\ d\theta=\frac{i\pi^2}{2}$$ Tomamos nota también de que todo el contorno de la integral no contiene ninguno de los polos, por lo que es $0$.

Sin embargo, esto es donde me encuentro con un problema, porque eso implica:$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\tan^{-1}x}{x}\ dx=-\frac{i\pi^2}{2}$$ Que obviamente no es cierto. Si alguien puede señalar por qué mi enfoque no funciona o donde me salió mal eso sería genial. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como los comentarios que se han señalado, la función compleja

$$ f(z) = \frac{\arctan z}{z} = \frac{1}{2iz}\ln\frac{1+iz}{1-iz} $$

tiene dos puntos de ramificación en $z=\pm i$ y un director de sucursal de corte en $(-i\infty,-i)\cup (i,i\infty)$

Desde su contorno se cruza con el de la rama de corte, la función no es solitario analítica y el circuito cerrado integral no es igual a $0$