si la ecuación de $(x-2)e^x+a(x-1)^2=0$ tiene dos raíces reales,Demostrar $a>0$

Question

si la ecuación de $$(x-2)e^x+a(x-1)^2=0,x\in R$$ tiene dos raíces reales.

mostrar que $$a>0$$

La siguiente es una solución

desde $$-a=\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}$$ Deje $$g(x)=\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{e^x(x^2-4x+5)}{(x-1)^3}$$ así que tenemos $$x>1,g'(x)>0\Longrightarrow g(x)\in (-\infty,+\infty)$$ y $$x<1,g'(x)<0\Longrightarrow g(x)\in (-\infty,0)$ $ , a continuación, dispone de los siguientes Fig

si $-a=g(x)$ tiene dos raíces reales,entonces $-a<0$,por lo que tenemos $a>0$

$\color{red} {Is ~there ~any ~other~ solution?and ~I~ want ~more ~solution}$

Answer 1

Vamos $$f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$$ Vamos a diferenciar: $$f'(x)=(x-1)e^x+2a(x-1)=(x-1)(2a+e^x)$$

Para $a=0$, claramente $f$ tiene un único cero, es decir,$x=2$.

Supongamos ahora que $a< 0$. Entonces la primera derivada tiene los ceros $x=1$$x=\ln(-2a)$. Deje $I$ ser el intervalo de $[1,\ln(-2a)]$ o $[\ln(-2a),1]$; escoge el que tiene sentido, según el valor de $a$.

Dentro de $I$, $f$ está disminuyendo, y el aumento de fuera. Para mayor brevedad, vamos a $b=\ln(-2a)$.

Ahora, $f(1)=-e<0$$f(b)=(b-2)(-2a)+a(b-1)^2=a(5-4b+b^2)<0$. Esto significa que $f$ tiene al menos un cero.

EDIT: Aunque el ejercicio es terminado, quizás es interesante mostrar que si $a>0$ $f$ tiene dos ceros, es decir, la implicación es, en realidad, bidireccional.

Si $a>0$ vemos que $f'$ tiene sólo el cero $x=1$. Por otra parte, $f$ es la disminución en $(-\infty,1)$ y el aumento en el $(1,\infty)$. Desde $f(-1)=-e<0$, y $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty$, $f$ tiene dos ceros.