Cohomology de forma racional equivalente de ciclos de

Question

Deje $X$ ser un suave proyectiva variedad, más de un algebraicamente cerrado campo de $k$ de característica cero. Deje $Z_1, Z_2 \subset X$ dos racionalmente equivalente sub-variedades. Es cierto que $$ H^\bullet (X, \mathcal{S}_{Z_1}) \cong H^\bullet (X, \mathcal{S}_{Z_2})? $$

Answer 1

No. Tomar un trenzado cúbicos y una curva elíptica en $\mathbb{P}^3$. Tienen diferentes $H^1$.

La condición de equivalencia racional es demasiado débil para implicar que el tipo de declaración. Dos de igual dimensión proyectiva variedades son racionalmente equivalentes si y sólo si tienen el mismo grado, la única de los datos de la memoria por la clase de equivalencia al $X = \mathbb{P}^n$. Otros $X$ va a ser más complicado, pero el principio va a ser similar.

edit: Que incluso no necesitan tener la misma característica de Euler, como muestra el ejemplo anterior.