En la derivación de Cardano de una raíz del polinomio cúbico $f(X)=X^3+bX+c$ divide la variable $X$ en dos variables $u$ y $v$ junto con la relación que $u+v=X$ . A partir de esto, encuentra que $x=u+v$ , donde
$$u=\sqrt[3]{\frac{-c}{2}+\sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{b^3}{27}}}$$ y $$v=\sqrt[3]{\frac{-c}{2}-\sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{b^3}{27}}}$$
es una raíz de $f(X)$ .
¿Existe una explicación intuitiva de por qué Cardano divide la variable $X$ en dos partes, $u$ y $v$ ?
La teoría elemental de Galois ofrece una explicación algo retrospectiva. Cuando buscamos una fórmula para las raíces de $$ x^3+ax^2+bx+c=0, $$ tenemos el grupo genérico de Galois $S_3$ . [ El caso genérico trata $a,b,c$ como trascendentales algebraicamente independientes sobre, digamos $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ - un campo base con suficientes raíces de la unidad, y estudia el campo de división del polinomio cúbico sobre $K(a,b,c)$ . ] Cardano conocía el truco elemental (que equivale aproximadamente a resolver la cuadrática completando el cuadrado) de sustituir $x=t-(a/3)$ . Esto elimina el término cuadrático, y pone la ecuación cúbica genérica en la forma $$ t^3+pt+q=(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3), $$ donde $t_1,t_2,t_3$ son las raíces desconocidas. Sea $\omega=(-1+i\sqrt3)/2$ sea una raíz cúbica primitiva de la unidad. Consideremos las cantidades $$ \begin{aligned} z_1&=t_1+t_2+t_3,\\ z_2&=t_1+\omega t_2+\omega^2 t_3,\\ z_3&=t_1+\omega^2 t_2+\omega t_3. \end{aligned} $$ Si permutamos las raíces según el ciclo de 3: $t_1\mapsto t_2\mapsto t_3\mapsto t_1$ vemos que las cantidades $z_i, i=1,2,3,$ se multiplican por $1,\omega^2$ y $\omega$ respectivamente. Por lo tanto, sus cubos $z_i^3,i=1,2,3,$ son invariantes bajo la acción de este 3-ciclo. Así que esos cubos pertenecen a un campo menor que debe ser una extensión cuadrática sobre el campo de definición [ y un hecho general nos dice que dicha cuadrática debe ser $K(a,b,c)(\sqrt{D})$ , donde $D$ es el discriminante ]. Cardano no pensó en ello en términos de extensiones de campo, pero esto explica, por qué algo como su fórmula debe existir.
Observamos que es fácil invertir la transformación $F:(t_1,t_2,t_3)\mapsto (z_1,z_2,z_3)$ . Muchos de ustedes esperan reconocer la transformación $F$ como la transformada discreta de Fourier de longitud 3, pero incluso si no lo hace, puede resolver el sistema lineal e invertir la transformación como sigue: $$ \begin{aligned} t_1&=\frac13(z_1+z_2+z_3),\\ t_2&=\frac13(z_1+\omega^2 z_2+\omega z_3),\\ t_3&=\frac13(z_1+\omega z_2+\omega^2 x_3). \end{aligned} $$ Así que sabiendo $z_i$ :s nos permite calcular $t_i$ (y viceversa). Pero antes de seguir adelante, tomemos nota del hecho de que al eliminar ese término cuadrático, llegamos a una situación en la que $z_1=t_1+t_2+t_3=0$ porque es el negativo del coeficiente del término cuadrático. Expande el producto $(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)$ para ver esto, si no lo sabías de antemano.
Calentando. Con $z_1=0$ ya no es un misterio, definamos dos variables más y llamemos a $u=z_2/3$ , $v=z_3/3$ . En este punto sabemos que $$ \begin{aligned} t_1&=u+v,\\ t_2&=\omega^2 u+\omega v,\\ t_3&=\omega u+\omega^2 v, \end{aligned} $$ y (si creemos en la teoría de Galois) que $u^3$ y $v^3$ pertenecen a un campo de extensión cuadrática, y por lo tanto deben ser resolubles por la fórmula de las raíces de una determinada extensión cuadrática que averiguamos a continuación.
Ampliar da $$ t^3+pt+q=(t-(u+v))(t-(\omega^2 u+\omega v))(t-(\omega u+ \omega^2v))= t^3-3uv t-(u^3+v^3). $$ De ello se desprende que $u^3+v^3=-q$ y $u^3v^3=(-p/3)^3$ . Por lo tanto, $u^3,v^3$ son, de hecho, raíces de la ecuación cuadrática $$ (Y-u^3)(Y-v^3)=Y^2+qY-\frac{p^3}{27}=0. $$ Esto nos lleva a la fórmula de Cardano.
El truco que nos dice que los componentes de la transformación discreta de Fourier de las raíces, como el $z_i$ :s aquí, tienen potencias en el campo fijo de un grupo cíclico de permutaciones de raíces, fue posteriormente explotado sistemáticamente en la teoría de Kummer ( $n$ raíces y $n^{th}$ raíces de la unidad) que caracteriza cierto tipo de extensiones de campos cíclicos.
No sé si podemos llamar a esta explicación "intuitiva". De todos modos, el $u$ y $v$ puede considerarse como las componentes desconocidas de la DFT del vector de raíces $(t_1,t_2,t_3)$ , y vemos un caso sencillo de la teoría de Kummer en acción.
Cardano conocía que cualquier ecuación cuadrática de la forma $$x^2+bx+c=0\tag{1}$$ puede escribirse como $$x^2-(u+v)x+uv=0,\tag{2}$$ donde $u$ y $v$ son las raíces de la ecuación. Puesto que al establecer $t=u+v$ en el cúbico reducido $$t^3+pt+q=0\tag{3}$$ obtenemos $$(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v)=0,\tag{4}$$ entonces cada raíz del sistema $$u^3+v^3+q=0\tag{5a}$$ $$3uv+p=0\tag{5b}$$ es una raíz de $(4)$ también, y basado en la propiedad de la ecuación cuadrática indicada en $(2)$ ahora es fácil encontrar una fórmula para $t$ que satisface la ecuación $(3)$ .
Añadido . Sólo tenemos que encontrar dos números $u^3$ y $v^3$ tal que su suma es $-q$ y su producto es $-p^3/27$ que sabemos por $(1)-(2)$ son las raíces de la ecuación cuadrática $$Y^2+qY-\frac{p^3}{27}=0.\tag{6}$$
En consecuencia, $t=u+v=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
