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Prueba |cos2(z)|+|sin2(z)|>1|cos2(z)|+|sin2(z)|>1 para los números complejos zz con parte imaginaria no nula

Prueba |cos2(z)|+|sin2(z)|>1|cos2(z)|+|sin2(z)|>1 para Im(z)0Im(z)0

Lo sé por usar la desigualdad del triángulo, |x+y||x|+|y||x+y||x|+|y| que |cos2(z)|+|sin2(z)|1|cos2(z)|+|sin2(z)|1 pero no sé cómo continuar para demostrar que es estrictamente mayor que.

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Es falso. Considere z=0z=0 .

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Perdón quise decir para números complejos con Im(z) no = 0. Lo he cambiado ahora

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@JessManley: entonces añade eso a la pregunta, por favor.

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Anthony Shaw Puntos 858

Una pista: Recordemos que la geometría |z0z2|=|z0z1|+|z1z2||z0z2|=|z0z1|+|z1z2| significa que z1z1 está en la línea entre z0z0 y z2z2 .

Sabemos que cos2(z)=1sin2(z)cos2(z)=1sin2(z) Así que |sin2(z)|+|cos2(z)|=|sin2(z)0|+|1sin2(z)|=1 significa que sin2(z) está en la línea entre 0 y 1 .


Pista 2: Tenga en cuenta que sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)|sin(x+iy)|2=sin2(x)cosh2(y)+cos2(x)sinh2(y) y cos(x+iy)=cos(x)cosh(y)isin(x)sinh(y)|cos(x+iy)|2=cos2(x)cosh2(y)+sin2(x)sinh2(y) Entonces recuerda que sin2(x)+cos2(x)=1 y cosh2(y)+sinh2(y)=cosh(2y) .

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Para z=x+iy con y<0 (ver el comentario) esto siempre se puede arreglar porque o bien z o su conjugado ˉz tiene parte imaginaria negativa. tenemos cos(z)+isin(z)=eiz=eyeix ahora toma el valor absoluto de ambos lados y elevando al cuadrado da |cosz|2+|sinz|2=ey>1.

editar: la respuesta anterior es incorrecta. ver el comentario de robjohn y mi respuesta.

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Creo que necesitas y<0 .

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@MartinArgerami, sí. Gracias por señalarlo. Editaré mi respuesta.

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Según los cálculos de mi respuesta, |cos2(z)|+|sin2(z)|=cosh(2y)=e2y+e2y2 donde y=Im(z) . El cuadrado del valor absoluto de cos(z)+isin(z) es |cos2(z)|+|sin2(z)| cuando ambos cos(z) y sin(z) son reales o ambos son imaginarios, pero no en general.

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mjqxxxx Puntos 22955

Desde sin(x+iy)=sinxcoshy+icosxsinhycos(x+iy)=cosxcoshyisinxsinhy, tienes |sin(x+iy)|2sin2xcosh2y|cos(x+iy)|2cos2xcosh2y, y |sin(x+iy)|2+|cos(x+iy)|2(cos2x+sin2x)cosh2y=cosh2y. Se puede concluir que |sinz|2+|cosz|2cosh2(Im z). Desde coshx>1 para todos x0 se obtiene el resultado deseado.

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Esto es muy similar a la segunda pista de mi respuesta donde se muestra que el valor es exactamente cosh(2y) .

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