Una pista: Recordemos que la geometría $|z_0-z_2|=|z_0-z_1|+|z_1-z_2|$ significa que $z_1$ está en la línea entre $z_0$ y $z_2$ .
Sabemos que $\cos^2(z)=1-\sin^2(z)$ Así que $$ \begin{align} |\sin^2(z)|+|\cos^2(z)| &=|\sin^2(z)-0|+|1-\sin^2(z)|\\ &=1 \end{align} $$ significa que $\sin^2(z)$ está en la línea entre $0$ y $1$ .
Pista 2: Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \sin(x+iy)&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\ |\sin(x+iy)|^2&=\sin^2(x)\cosh^2(y)+\cos^2(x)\sinh^2(y) \end{align} $$ y $$ \begin{align} \cos(x+iy)&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ |\cos(x+iy)|^2&=\cos^2(x)\cosh^2(y)+\sin^2(x)\sinh^2(y) \end{align} $$ Entonces recuerda que $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ y $\cosh^2(y)+\sinh^2(y)=\cosh(2y)$ .
5 votos
Es falso. Considere $z=0$ .
0 votos
Perdón quise decir para números complejos con Im(z) no = 0. Lo he cambiado ahora
1 votos
@JessManley: entonces añade eso a la pregunta, por favor.
0 votos
¿Se puede utilizar la serie de potencia?
0 votos
@DanielR Sí, creo que sí