Prueba $|\cos^2(z)| + |\sin^2(z)| > 1$ para los números complejos $z$ con parte imaginaria no nula

Question

Prueba $$|\cos^2(z)| + |\sin^2(z)| > 1$$ para $\operatorname{Im}(z) \ne 0$

Lo sé por usar la desigualdad del triángulo, $|x+y| \leq |x| + |y|$ que $|\cos^2(z)| + |\sin^2(z)| \geq 1$ pero no sé cómo continuar para demostrar que es estrictamente mayor que.

Answer 1

Una pista: Recordemos que la geometría $|z_0-z_2|=|z_0-z_1|+|z_1-z_2|$ significa que $z_1$ está en la línea entre $z_0$ y $z_2$ .

Sabemos que $\cos^2(z)=1-\sin^2(z)$ Así que $$ \begin{align} |\sin^2(z)|+|\cos^2(z)| &=|\sin^2(z)-0|+|1-\sin^2(z)|\\ &=1 \end{align} $$ significa que $\sin^2(z)$ está en la línea entre $0$ y $1$ .

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Pista 2: Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \sin(x+iy)&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\ |\sin(x+iy)|^2&=\sin^2(x)\cosh^2(y)+\cos^2(x)\sinh^2(y) \end{align} $$ y $$ \begin{align} \cos(x+iy)&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ |\cos(x+iy)|^2&=\cos^2(x)\cosh^2(y)+\sin^2(x)\sinh^2(y) \end{align} $$ Entonces recuerda que $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ y $\cosh^2(y)+\sinh^2(y)=\cosh(2y)$ .

Answer 2

Para $z = x + iy$ con $y< 0$ (ver el comentario) esto siempre se puede arreglar porque o bien $z$ o su conjugado $\bar z$ tiene parte imaginaria negativa. tenemos $\cos(z) + i\sin(z) = e^{iz} = e^{-y}e^{ix}$ ahora toma el valor absoluto de ambos lados y elevando al cuadrado da $$|\cos z|^2 + |\sin z|^2 = e^{-y} > 1.$$

editar: la respuesta anterior es incorrecta. ver el comentario de robjohn y mi respuesta.

Answer 3

Desde $$ \sin(x+iy)=\sin x \cosh y +i\cos x \sinh y \\ \cos(x+iy)=\cos x \cosh y -i\sin x \sinh y, $$ tienes $$ \left|\sin(x+iy)\right|^2\ge \sin^2 x \cosh^2 y \\ \left|\cos(x+iy)\right|^2\ge \cos^2 x \cosh^2 y, $$ y $$ \left|\sin(x+iy)\right|^2 + \left|\cos(x+iy)\right|^2\ge (\cos^2 x + \sin^2 x)\cosh^2 y=\cosh^2 y. $$ Se puede concluir que $$ \left|\sin z\right|^2 + \left|\cos z\right|^2\ge \cosh^2 \left({\text{Im }}z\right). $$ Desde $\cosh x > 1$ para todos $x\neq 0$ se obtiene el resultado deseado.