Es este uso de "big O" notación para demostrar la convergencia correcta?

Question

Considerar la serie de $\sum_{i\ge 1} (e^{(-1)^i\sin (\frac{1}{i})}-1)$.

Para$x\to 0$,$e^x=1+x+O(x^2)$. Así, por $i\to \infty$ tenemos $$e^{(-1)^i\sin (\frac{1}{i})}-1=(-1)^i\sin(1/i)+ O(\sin^2 (1/i))$$

Las dos series de $\sum_{i\ge 1}(-1)^i\sin(1/i)$ $\sum_{i\ge 1} O(\sin^2 (1/i))$ convergen (el primero por la de Leibniz de la prueba, el segundo por la prueba de comparación).

Me preguntaba ¿sería correcto si escribo $$\sum_{i\ge 1} (e^{(-1)^i\sin (\frac{1}{i})}-1)=\sum_{i\ge 1}(-1)^i\sin(1/i)+\sum_{i\ge 1} O(\sin^2 (1/i))$$ and conclude that $\sum_{i\ge 1} e^{(-1)^i\sin (\frac{1}{i})}-1)$ converges? My concern is that the equality $$\sum_{i\ge 1} (e^{(-1)^i\sin (\frac{1}{i})}-1)=\sum_{i\ge 1} [(-1)^i\sin(1/i)+ O(\sin^2 (1/i))]$$ (and hence the previous equality) only holds as $i\to \infty$, pero no en general. ¿Tengo derecho a escribir cosas como que y hacer conclusiones acerca de la convergencia de la serie original? Si este uso es incorrecto, ¿cómo puedo escribir mi argumento?

Answer 1

Yo recomendaría escribir $e^x=1+x+x^2H(x)$, donde, por la singularidad de los polinomios de Maclaurin, $H$ es una función acotada en algún barrio de $0$. Esta igualdad se cumple para cualquier valor de $x$.