No isomorfos de dos variables de las variedades de característica 2

Question

Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $2$, y vamos a considerar afín variedades de $\mathbb{A}^2$. Deje $X = Z(y-x^2)$$Y = Z(xy-1)$. Me han mostrado a través de algunos de agotar el análisis de casos que el uso de completar el cuadrado puede demostrar que estos son la única irreductible cuadrática variedades en el carácter $\neq 2$, pero el texto en el que estoy trabajando desde lo que parece indicar que este no es el caso en el carácter $2$, como se pregunta si una prueba de que el hecho puede ser válida en el carácter $2$ (lo que para mí parece indicar, en la forma en que los problemas de matemáticas, que la respuesta es no).

Me gustaría un toque suave hacia la búsqueda de una gran variedad, si es posible. Un amigo y yo hemos considerado $W = Z(x^2 + xy + y)$ pero no tenemos mucha técnica de maquinaria para mostrar que $W \not \simeq X$ o $Y$. ¿Alguien tiene alguna idea?

Edit: Correr con esta variedad por un momento, tenga en cuenta que $(1,y)$ nunca es un punto en $W$ entonces $1 + y + y = 0 \rightarrow 1 + 2y = 0 \rightarrow 1 = 0$ $K$ tiene características de las $2$, y sin duda esta es una contradicción. Ahora suponga $x \neq 1$, entonces podemos resolver para $y$: $y = \dfrac{x^2}{x+1}$ por lo $W = \left\lbrace\left(x,\dfrac{x^2}{x+1}\right)\right\rbrace$. Tengo algo de esperanza para el uno como el segundo componente NO es una función regular de $x$, lo que podría ayudar, pero no estoy seguro.

Answer 1

Su interpretación psicológica de la pregunta es falsa: la cónica afín $W$ es isomorfo a $Y$. Aquí es por qué:

No hay, hasta el isomorfismo, sólo uno proyectiva lisa cónica $C$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$ de los característicos $2$, y se tiene la ecuación de $z^2=xy$: ver aquí.
En consecuencia, hay sólo dos afín cónicas en $\mathbb A^2_k$: se obtiene por extracción de la intersección de $C$, con una línea en $\mathbb P^2_k$.
De acuerdo como que la línea es tangente a la cónica o la corta en dos puntos a obtener una cónica afín isomorfo a $X$ o a $Y$.
En el caso de que el projectified cónica tiene por ecuación $x^2+xy+yz$ y los cortes de la línea en el infinito $z=0$ en los dos puntos de $(0:1:0)$$(1:1:0)$.
Estamos, pues, en el segundo caso de la dicotomía anteriormente y por lo tanto $W\simeq Y$.

Answer 2

Como es a menudo el caso, una vez que un resumen de la prueba se encuentra psicológicamente es más fácil encontrar un abajo-a-tierra de uno. Aquí va:

Cambio de variables a $x=u+1,y=u+v$ y la ecuación de $x^2+xy+y=0$ transforma a $uv+1=0$ o $uv-1=0$, ya que los signos son irrelevantes en el carácter $2$.
Así se obtiene la ecuación de $Y$ (con letras diferentes).

[He dejado la otra respuesta que es bastante general, y podrían ser de utilidad para otras preguntas]