Convergencia de la radio de la solución de una edo.

Question

Lo siento por el vago título... Aquí está el problema: Considere la posibilidad de la educación a distancia $$y'' + \frac{1}{\sqrt{t}}y=0.$$ Given a solution $y$ such that $s(t_0)=0$ for a fixed $t_0>0$ and $s'(t_0)\neq 0.$ ¿Qué puedo decir sobre el radio de convergencia de la serie de Taylor de la solución?

Gracias!

Answer 1

Tenemos el siguiente resultado en la ecuación diferencial de orden $2$ con coeficientes analíticos:

Considere la ecuación de $y''+ay'+by=0$ donde $a$ $b$ son analíticas en un barrio de $t_0$, con los respectivos radio de convergencia $R_1$$R_2$. Entonces cualquier solución de estas ecuaciones es analítica en un barrio de $t_0$, con un radio de convergencia $\geq \min(R_1,R_2)$.

(para probar esto, se utiliza la definición de radio de convergencia de $\sum_n a_nx^n$: es el supremum de la $M$ tal que $\{a_nM^n\}$ es limitado)

Desde $\frac 1{\sqrt t}=\frac 1{\sqrt{t_0+t-t_0}}=\frac 1{\sqrt{t_0}}\frac 1{\sqrt{1+\frac{t-t_0}{t_0}}}$, y dado que el poder de la serie de $\frac 1{\sqrt{1+u}}$ tiene un radio de convergencia $1$, $\frac 1{\sqrt{t_0}}$ tiene un radio de convergencia de $t_0$. Así, la solución de $y''(t)+\frac 1{\sqrt t}y(t)=0$ que satisface $y(t_0)=0$ $y'(t_0)\neq 0$ tiene un radio de convergencia $\geq t_0$.