¿Por qué no hay forma general para la armónica de los números?

Question

La Armónica de los números de $H_n$ están dados por la suma de los recíprocos de los números naturales hasta un determinado $n$, es decir:

$H_1 = 1$

$H_2 = 1 + 1/2 = 3/2$

$H_3 = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6$

$H_n$ para no entera $n$ puede ser dado por la integral de la definición de $$\int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x}dx$$

es decir: $H_{1/2} = 2-2\ln2$ o $\ln\frac{e^2}{4}$

Pero como lo que yo puedo decir, no hay fórmula general (es decir: sin la integral de una suma, un producto o un límite como parte de la definición) para cualquier $n$ existe. Hay una razón específica? Una prueba de que no existe? O ni lo hemos encontrado?

Answer 1

Esta es una respuesta parcial.

Desde $H_n \sim \log n$, no hay ninguna fórmula para $H_n$ usando una función racional de $n$ porque $p(x)/q(x) \sim x^k$, para algún entero $k$, e $\log x$ nunca es asintótica a $x^k$.

Aquí, $f(x) \sim g(x)$ al $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.

Answer 2

Como lhf explicó, cada función racional crece como un número entero de alimentación de $x$$x\to\infty$. Desde $H_n\sim\log n$$n\to\infty$, no puede haber ninguna función racional $f$$f(n)=H_n$.

Esto se puede generalizar a funciones algebraicas, que son funciones que satisfacen una ecuación $$ \etiqueta{$\star$} \sum_{i=0}^n a_i(x) f(x)^i =0 $$ para algunos polinomios $a_0,\ldots,a_n$ no todos los $0$. Si $f$ satisface $(\star)$, $|f(x)|\sim C x^\alpha$ $x\to\infty$ para algunas constantes $C$, $\alpha$, con $\alpha$ un número racional del denominador en la mayoría de las $n$ (el valor de $\alpha$ puede calcularse mediante polígonos de Newton). En particular, puesto que no es $\alpha$ que $\log(n)\sim C n^\alpha$, no puede ser ninguna de las funciones algebraicas $f$$f(n)=H_n$.

Answer 3

$$H_n=\frac1{n!}\left(\sum_{k=1}^n\prod_{1\le j\le n, j\neq k}j\right)$$

Esta es una forma cerrada: no hay trascendental operaciones de que se trate, y que puede ser calculado en tiempo finito. Feo, pero cerrado.