Deje $\left(X,\tau\right)$ una topología del espacio y $\mathcal{B}$ una base de la topología, mi pregunta es:
El Borel $\sigma$-álgebra generada por $\mathcal{B}$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lockie
Puntos
636
No necesariamente. Por ejemplo, considere la topología discreta en $\Bbb R,$ a que $$\mathcal B=\bigl\{\{x\}:x\in\Bbb R\bigr\}$$ as a base. The $\sigma$-algebra generated by $\mathcal B$ is the set of all subsets $$ of $\Bbb R$ such that either (1) $$ is finite or countably infinite, or (2) $\Bbb R\setminus Un$ is finite or countably infinite. However, the appropriate Borel $\sigma$-algebra is the power set of $\Bbb R,$ so for example, $[0,1]$ is an element of the Borel $\sigma$-algebra that is not an element of the $\sigma$-algebra generated by $\mathcal B$.
En cierta medida, depende de la topología en cuestión-por ejemplo, dado que cualquier segundo-contable de la topología y de cualquier base para que la topología de la $\sigma$-álgebra generada por la base es la Borel $\sigma$-álgebra (y sospecho que solo segundo-contables de las topologías necesariamente tienen esta propiedad, a menos que suponemos el Axioma de Elección). Por otro lado, también depende de la base en la que usted elija, ya que cada topología tiene a sí misma como una base.
Como Cameron Buie señalado, la afirmación no es cierta en general.
Sin embargo, es cierto si $\tau$ es de segunda contables e $\mathcal B$ es una contables topológica de la base (en particular, es cierto separables métrica espacios). Para ver esto, supongamos que $U\in\mathcal \tau$ es cualquier conjunto abierto. Entonces, existe una subcolección $\mathcal B_{U}\subseteq\mathcal B$, necesariamente contables, de tal manera que $$U=\bigcup_{B\in\mathcal B_U}B.$$ This union is countable, so that $U\en\sigma(\mathcal B)$. Since $U$ is an arbitrary open set, it follows that $\tau\subseteq\sigma(\mathcal B)$, and, in turn, $\sigma(\tau)\subseteq\sigma(\mathcal B)$.
La otra dirección, $\sigma(\mathcal B)\subseteq\sigma(\tau)$ es fácil, dado que el $\mathcal B\subseteq\tau$. De ello se desprende que la Borel $\sigma$-álgebra $\sigma(\tau)$ es igual a la $\sigma$-álgebra generada por la base topológica $\mathcal B$.
De hecho, si $\tau$ es segundo contable, entonces cualquier base topológica $\mathcal C$, contables o no, va a generar la Borel $\sigma$-álgebra. Esto es debido a que, a continuación, $\mathcal C$ contiene una contables subcolección $\mathcal B\subseteq\mathcal C$ que es todavía una base (ver aquí para más detalles). Como se muestra arriba, $\sigma(\tau)=\sigma(\mathcal B)\subseteq\sigma(\mathcal C)$, y en la otra dirección, $\sigma(\mathcal C)\subseteq\sigma(\tau)$ nuevo es fácil.
